场论笔记（一）哈密顿算子的总结

场论笔记（一）哈密顿算子\(\nabla\)的总结

​ 由于在场论，力学分析中存在大量矢性微分计算，为了使数学表达变得紧凑，优雅，来统一描述物理场（标量场和矢量场）在空间中的变化行为（源，汇，旋转，变化趋势）。哈密顿引入了一个矢性微分算子：

\[\nabla\equiv\frac{\part}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part}{\part{z}}\mathbf{k} \tag{1.1} \]

称为哈密顿算子或\(\nabla\) 算子。记号\(\nabla\) 可读作“nabla”或“del”，\(\nabla\) 算子本身并没有意义，而是一种微分运算符号，同时又被看做是矢量。也就是说，它在运算中具有矢量和微分双重性质。其运算规则是：

（1）梯度运算

\[\nabla{u}=(\frac{\part}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part}{\part{z}}\mathbf{k} )u=\frac{\part{u}}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part{u}}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part{u}}{\part{z}}\mathbf{k} \tag{1.2} \]

(2) 散度运算

\[\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{A}&=(\frac{\part}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part}{\part{z}}\mathbf{k} )\cdot(A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k}) \\ &=\frac{\part{A_x}}{\part{x}}+\frac{\part{A_y}}{\part{y}}+\frac{\part{A_z}}{\part{z}} \end{aligned} \tag{1.3} \]

（3）旋度运算

\[\begin{aligned} \nabla \times\mathbf{A}&=\left|\begin{matrix} \mathbf{i} &\mathbf{j} &\mathbf{k}\\ \frac{\part}{\part{x}} & \frac{\part}{\part{y}} & \frac{\part}{\part{z}}\\ A_x & A_y &A_z \end{matrix}\right|\\ &=\left(\frac{\part{A_z}}{\part{y}}-\frac{\part{A_y}}{\part{z}}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\part{A_x}}{\part{z}}-\frac{\part{A_z}}{\part{x}}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\part{A_y}}{\part{x}}-\frac{\part{A_x}}{\part{y}}\right)\mathbf{k} \end{aligned} \tag{1.4} \]

由此可知，标量场\(u\) 的梯度与矢量场\(\mathbf{A}\)的梯度和旋度正好可用\(\nabla\) 算子表示为如下的形式:

\[\mathbf{grad}(u)=\nabla{u} \\ div{\mathbf{A}}=\nabla{\mathbf{A}}\\ \mathbf{rot}{(\mathbf{A})}=\nabla\times\mathbf{A} \tag{1.5} \]

由此可知，场论中的一些微分算子公式，也可以通过\(\nabla\)算子来表示。

​ 此外，为了在某些公式中使用方便，我们还可以如下的一个数性微分算子：

\[\begin{aligned} \mathbf{A}\cdot\nabla&=(A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k})\cdot(\mathbf{i}\frac{\part}{\part{x}}+\mathbf{j}\frac{\part}{\part{y}}+\mathbf{k}\frac{\part}{\part{z}})\\ &=A_x\frac{\part}{\part{x}}+A_y\frac{\part}{\part{y}}+A_z\frac{\part}{\part{z}} \end{aligned} \tag{1.6} \]

其既可以作用于在数性函数\(u(M)\)上，又可作用于矢性函数\(\mathbf{B}(M)\)上。如:

\[(\mathbf{A}\cdot\nabla)u=A_x\frac{\part{u}}{\part{x}}+A_y\frac{\part{u}}{\part{y}}+A_z\frac{\part{u}}{\part{z}} \tag{1.7} \]

\[(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}=A_x\frac{\part{\mathbf{B}}}{\part{x}}+A_y\frac{\part{\mathbf{B}}}{\part{y}}+A_z\frac{\part{\mathbf{B}}}{\part{z}} \tag{1.8} \]

应当注意：这里的\(\mathbf{A}\cdot\nabla\) 与上述的\(\nabla\cdot\mathbf{A}\)是完全不同的。

​ 现在我们把用\(\nabla\) 表示的一些常用的性质列在下面，以便于查用，其中\(u\)与\(v\) 为数性函数，\(\mathbf{A}\) 与\(\mathbf{B}\) 为矢性函数。 首先是\(\nabla\) 算子具有齐次性：

1. \(\nabla(cu)=c\nabla{u}\) (其中\(c\)为常数)
2. \(\nabla\cdot(c\mathbf{A})=c\nabla\cdot\mathbf{A}\) (其中\(c\)为常数)
3. \(\nabla(u\pm v)=\nabla{u}\pm\nabla{v}\)
4. \(\nabla\cdot(\mathbf{A}\pm\mathbf{B})=\nabla\cdot\mathbf{A}\pm\nabla\cdot\mathbf{B}\)
5. \(\nabla\times(\mathbf{A}\pm \mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}\pm\nabla\times{\mathbf{B}}\)

\(\nabla\) 算子的函数乘法性质：

1. \(\nabla\cdot(u\mathbf{c})=\nabla{u}\cdot\mathbf{c}\) （其中\(\mathbf{c}\) 为常矢量 ）
2. \(\nabla\times(u\mathbf{c})=\nabla u\times\mathbf{c}\) （其中\(\mathbf{c}\) 为常矢量 ）
3. \(\nabla(uv)=v\nabla{u}+u\nabla{v}\)
4. \(\nabla\cdot{(u\mathbf{A})}=u\nabla\cdot{\mathbf{A}}+\nabla{u}\cdot{\mathbf{A}}\)
5. \(\nabla\times{(u\mathbf{A})}=u\nabla\times\mathbf{A}+\nabla{u}\times{\mathbf{A}}\)
6. \(\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{A}\times(\nabla\times{\mathbf{B}})+(\mathbf{A}\cdot{\nabla})\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla\times{A})+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}\)
7. \(\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times{\mathbf{B}})\)
8. \(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}-\mathbf{B}(\nabla\cdot{\mathbf{A}})+\mathbf{A}(\nabla\cdot{\mathbf{B}})\)

\(\nabla\)算子特殊性质：

1. \(\nabla\cdot(\nabla{u})=\nabla^2{u}=\Delta{u}\)（其中\(\Delta{u}\)为调和量)
2. \(\nabla\times(\nabla{u})=0\)
3. \(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\)
4. \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\Delta{A}\) （其中\(\Delta\mathbf{A}=\Delta{A_x}\mathbf{i}+\Delta{A_y}\mathbf{j}+\Delta{A_z}\mathbf{k}\))

​ 在场论推导中，我们经常遇到位矢函数\(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k},r=|\mathbf{r}|，\mathbf{r}^{o}=\frac{\mathbf{r}}{r}\) 的散度、旋度的推导，其一些常用的数学性质公式总结如下：

1. \(\nabla{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\mathbf{r}^{o}\)
2. \(\nabla\cdot{\mathbf{r}}=3\)
3. \(\nabla\times\mathbf{r}=0\)
4. \(\nabla{f(r)}=\frac{f^{'}(r)}{r}\mathbf{r}=f^{'}(r)\mathbf{r}^{o}\)
5. \(\nabla\times(r^{-3}\mathbf{r})=\mathbf{0}\)

设\(\mathbf{a},\mathbf{b}\)为常矢，\(\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\), \(r=|\mathbf{r}|\)，

1. \(\nabla(\mathbf{r}\cdot\mathbf{a})=\mathbf{a}\)
2. \(\nabla\cdot(\mathbf{a}r)=\frac{1}{r}(\mathbf{r}\cdot\mathbf{a})\)
3. \(\nabla\times(r\mathbf{a})=\frac{1}{r}(\mathbf{r}\times{\mathbf{a}})\)
4. \(\nabla\times[(\mathbf{r}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}]=\mathbf{a}\times\mathbf{b}\)
5. \(\nabla(|\mathbf{a}\times\mathbf{r}|)=2[(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})\mathbf{r}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{r})\mathbf{a}]\)

上述的\(\nabla\)算子的运算规则是可以根据\(\nabla\)算子的定义直接推导出来，是几个最基本的公式。应用这几个公式和下面的方法，就可以进而推证出其他的一些公式。我们对上面的一些公式给出证明：

Proof.1: 证明 \(\nabla{(uv)}=u\nabla{v}+v\nabla{u}\)

证明:

\[\begin{aligned} \nabla(uv)&=(\frac{\part}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part}{\part{z}}\mathbf{k})(uv)\\ &=\frac{\part{(uv)}}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part{(uv)}}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part{(uv)}}{\part{x}}\mathbf{k}\\ &=\left(v\frac{\part{u}}{\part{x}}+u\frac{\part{v}}{\part{x}}\right)\mathbf{i}+\left(v\frac{\part{u}}{\part{y}}+u\frac{\part{v}}{\part{y}}\right)\mathbf{j}+\left(v\frac{\part{u}}{\part{z}}+u\frac{\part{v}}{\part{z}}\right)\mathbf{k}\\ &=u(\frac{\part{v}}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part{v}}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part{v}}{\part{z}}\mathbf{k})+v(\frac{\part{u}}{\part{x}}\mathbf{i}+\frac{\part{u}}{\part{y}}\mathbf{j}+\frac{\part{u}}{\part{z}}\mathbf{k})\\ &=u\nabla{v}+v\nabla{u} \end{aligned} \tag{1.9} \]

算子\(\nabla\) 实际上是三个数性微分算子\(\frac{\part}{\part{x}},\frac{\part}{\part{y}},\frac{\part}{\part{z}}\) 的线性组合，而这些数性微分算子是服从乘积的微分算子法则的，就是当它们作用在两个函数的乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个因子看作常数，因此作为这些数性微分算子的线性组合的\(\nabla\), 在其微分性质中，自然也服从乘积的微分法则。明确这一点，就可以将上述的证明简化成如下的方法来证明。

​ 证明：根据\(\nabla\) 算子的微分性质，并按照乘积的微分法则，有

\[\nabla(uv)=\nabla(u_cv)+\nabla(uv_c) \tag{1.10} \]

在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看成常数的量，附近以下标\(c\)，待运算结束后，再除去子。以此，根据式得到：

\[\nabla(uv)=u_c\nabla{v}+v_c\nabla{u}=u\nabla{v}+v\nabla{u} \tag{1.11} \]

Proof.2: 证明：\(\nabla\cdot{(u\mathbf{A})}=u\nabla{\cdot{\mathbf{A}}}+\nabla{u}\cdot{\mathbf{A}}\)

证明：根据\(\nabla\)算子的微分性质及轮次规则，按照乘积的微分法则，有：

\[\nabla\cdot(u\mathbf{A})=\nabla\cdot(u_c\mathbf{A})+\nabla\cdot(u\mathbf{A}_c) \tag{1.12} \]

式(1.12)的右端第一项，可以得到如下结果

\[\nabla\cdot(u_c\mathbf{A})=u_c\nabla\cdot{\mathbf{A}}=u\nabla\cdot{\mathbf{A}} \tag{1.13} \]

右端第二项，可以得到

\[\nabla\cdot{(u\mathbf{A}_c)}=\nabla{u}\cdot\mathbf{A}_c=\nabla{u}\cdot\mathbf{A} \tag{1.14} \]

因此，(1.13)和(1.14)代入(1.12):

\[\nabla\cdot(u\mathbf{A})=u\nabla\cdot{\mathbf{A}}+\nabla{u}\cdot{\mathbf{A}} \tag{1.15} \]

Proof.3:证明：\(\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times{\mathbf{B}})\)

证明：根据\(\nabla\) 算子的微分性质，按照乘积的微分法则，有

\[\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}_c)+\nabla\cdot(\mathbf{A}_c\times{\mathbf{B}}) \tag{1.16} \]

再根据\(\nabla\) 算子的矢性性质，把上述右部两项都看成三个矢性的混合积，然后根据三个矢量在其混合积的位置轮换性:

\[\mathbf{a}\cdot{(\mathbf{b}\times\mathbf{c})}=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times{\mathbf{b}})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times{\mathbf{c}}) \tag{1.17} \]

将上式的右端两项中的常矢都轮换到\(\nabla\) 的前面，同时使得变矢都能留在\(\nabla\)的后边，据此：

\[\begin{aligned} \nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})&=\nabla\cdot(\mathbf{A}_c\times\mathbf{B})+\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}_c)\\ &=\nabla\cdot(\mathbf{A}_c\times\mathbf{B})-\nabla\cdot(\mathbf{B}_c\times\mathbf{A})\\ &=\mathbf{A}_c\cdot(\nabla\times\mathbf{B})-\mathbf{B}_c\cdot(\nabla\times{\mathbf{A}})\\ &=\mathbf{A}\cdot(\nabla\times{\mathbf{B}})-\mathbf{B}\cdot(\nabla\times{\mathbf{A}}) \end{aligned} \tag{1.18} \]

注意：在\(\nabla\) 算子的运算中，常常用到三矢量的混合积公式：

\[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \tag{1.19} \]

及二重矢量积公式：

\[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot{\mathbf{b}})\mathbf{c} \tag{1.20} \]

这些公式都有若干种写法。例如：二重矢量积右端第一项\((\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}\)，还可以写作如下的形式\((\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b},\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}),\mathbf{b}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\)。 在应用这些公式时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常矢量移到\(\nabla\) 的前面，而使变矢在\(\nabla\)算子的后面。

Proof.4: 证明\(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}-\mathbf{B}(\nabla\cdot{\mathbf{A}})+\mathbf{A}(\nabla\cdot{\mathbf{B}})\)

证明：根据\(\nabla\) 算子的微分性质，应用乘积的微分法则，则有：

\[\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\nabla\times(\mathbf{A}_c\times\mathbf{B})+\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}_c) \tag{1.21} \]

在根据\(\nabla\) 算子的矢量性质，应用上式右端的两项都看成三个矢量的二重矢量积，应用二重矢量积公式：

\[\begin{aligned} \nabla\times(\mathbf{A}_c\times\mathbf{B})&=\mathbf{A}_c(\nabla\cdot\mathbf{B})-(\mathbf{A}_c\cdot\nabla)\mathbf{B}\\ &=\mathbf{A}(\nabla\cdot{\mathbf{B}})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} \end{aligned} \tag{1.22} \]

\[\begin{aligned} \nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}_c)&=(\mathbf{B}_c\cdot\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}_c(\nabla\cdot\mathbf{A})\\ &=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A}) \end{aligned} \tag{1.23} \]

所以

\[\begin{aligned} \nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=&(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}\\ &-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B}) \end{aligned} \tag{1.24} \]

参考文献： 谢树艺 《工程数学:矢量分析与场论(第3版)》

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