基于震源机制的应力线性反演算法总结（一）

基于震源机制的应力线性反演算法总结（一）

​ 震源机制作为微地震监测的高级解释成果之一，震源机制通过分析岩石的破裂过程及破裂产生的力学类型或断层类型，可以给出对震源断裂面的走向、倾角、倾向及滑动角等参数进行定量反演描述，进而通过震源机制的走向角(trend angle)、倾角(dip angle)、滑动角（rake angle），在 Bott 假设下，即微地震事件描述的滑动方向为构造应力在该破裂面的剪切应力方向，建立震源模型应力关系式，利用该关系式与多个震源机制解建立最小二乘意义下最优解的目标函数，利用SVD算法或最小二乘算法求解该点处的主应力方向，即 Micheal’s linear Stress Inversion方法。基于

1.1 震源机制的剪切位错模型描述（双力偶模型，Double Couple Model）

​ 剪切位错震源模型，基于地震的断层成因学说(Reid,1910)和弹性位错理论（Steketee,1958), 是关于天然地震震源过程的最简单运动学模型，已广泛应用于天然地震的研究中(Aki and Richards, 2002)。 剪切错位模型由断层平面(或破裂面)的三个角度参数来描述(即走向角(trend angle),倾角(dip angle),滑动角(rake angle))如图1.1-1所示，其中\(\mathbf{n}\) 为断层面(或破裂面)的法向量，\(\mathbf{u}\) 为断层的滑动向量，\(\phi\) 为断层面走向角，\(\delta\) 为断层面的倾角，\(\lambda\) 为断层面的滑动角，一般我们采用地质坐标系North-East-Down(\(X_1\)轴的正方向为北向、\(X_2\)轴的正方向为东向,\(X_3\) 轴的正方向为铅直向下)。

图 1 震源机制的剪切位错模型几何描述

​ 在应力反演中，我们要计算断层面的法向量\(\mathbf{n}\) 和滑动向量\(\mathbf{u}\) 关于已知断层面的观测数据\(\phi\) ,\(\delta\) 和\(\lambda\) 的关系，我们首先计算断层的法向量\(\mathbf{n}\) ,由于法向量\(\mathbf{n}\) 垂直于断层面，其必垂直于在断层面上任意的直线，我们只需要求出两条不平行不共线的两直线的方向向量，利用断层面产状几何参数的定义，我们非常容易得到可以断层面与North-O-East平面的交线(即走向测量线)的方向向量\(\mathbf{m_1}\) 与在该平面垂直于走向测量线的倾向测量线的方向向量\(\mathbf{m_2}\) ,其表达式如下：

\[\begin{align} \mathbf{m_1}&=\left(\cos{\phi},\sin{\phi},0\right)^T \tag{1.1.1}\\ \mathbf{m_2}&=\left(-\sin{\delta}\sin{\phi},\sin{\delta}\cos{\phi},\cos{\delta}\right)^T\tag{1.1.2} \end{align} \]

利用断层面的方向量\(\mathbf{n}\) 与\(\mathbf{m_1}\), \(\mathbf{m_2}\) 均垂直，利用向量的叉乘即可计算得到其断层面的法方向，即

\[\mathbf{n}=\mathbf{m_2}\times\mathbf{m_1}=\left|\begin{matrix} &\mathbf{i},&\mathbf{j},&\mathbf{k}\\ &-\sin{\delta}\sin{\phi},&\sin{\delta}\cos{\phi},&\cos{\delta}\\ &\cos{\phi},&\sin{\phi},&0 \\ \end{matrix}\right|^T=\left(-\sin{\phi}\cos{\delta},\cos{\phi}cos{\delta},-\sin{\delta}\right)^T \tag{1.1.3} \]

在地质坐标系下的我们也可以用plunge角\(\delta_1\)(断层面与North-O-East平面的夹角)进行描述, 其角度关系\(\delta_1=\pi/2-\delta\) 带入公式（1.1.3）可以得到如下表达式：

\[\mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)^T=\left(-\sin{\phi}\sin{\delta_1},\cos{\phi}\sin{\delta_1},-\cos{\delta_1}\right)^T \tag{1.1.4} \]

由此可以得到

\[\begin{equation} \begin{aligned} n_1&=-\sin{\phi}\sin{\delta_1}\\ n_2&=\space\space\cos{\phi}\sin{\delta_1}\\ n_3&= - \cos{\delta_1} \end{aligned} \tag{1.1.5} \end{equation} \]

​ 下面我们讨论断层面的滑动向量\(\mathbf{u}\) 的表达式，其中根据滑动角的定义可以将滑动向量看作断层产状水平迹线的方向向量\(\mathbf{m_1}\) 绕断层法向量\(\mathbf{n}\) 顺时针旋转 滑动角\(\lambda\) 后的向量，可以根据轴旋转公式可以得到一个旋转矩阵(参考弹性波动力学笔记(一)旋转矩阵简介)：

\[\mathbf{A}({\boldsymbol{n}}, \lambda)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \lambda+n_1^2(1-\cos \lambda) & n_1 n_2(1-\cos \lambda)-n_3 \sin \lambda & n_1 n_3(1-\cos \lambda)+n_2 \sin \lambda \\ n_1 n_2(1-\cos \lambda)+n_3 \sin \lambda & \cos \lambda+n_2^2(1-\cos \lambda) & n_2 n_3(1-\cos \lambda)-n_1 \sin \lambda \\ n_1 n_3(1-\cos \lambda)-n_2 \sin \lambda & n_2 n_3(1-\cos \lambda)+n_1 \sin \lambda & \cos \lambda+n_3^2(1-\cos \lambda) \end{array}\right) \tag{1.1.5} \]

其中\(\mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)^T\) 为断层(或破裂面)法向量，\(\lambda\) 为滑动角，由此可以得到其滑动向量\(\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)^T\) 可以根据轴转动公式得到

\[\mathbf{u}=\mathbf{A}(\mathbf{n},\lambda)\mathbf{m_2} \tag{1.1.6} \]

将式(1.1.2)中\(\mathbf{m_2}\) 的表达式代入式(1.1.6) 中，写成矩阵格式可以得到

\[\left(\begin{matrix}u_1\\u_2\\u_3\end{matrix}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \lambda+n_1^2(1-\cos \lambda) & n_1 n_2(1-\cos \lambda)-n_3 \sin \lambda & n_1 n_3(1-\cos \lambda)+n_2 \sin \lambda \\ n_1 n_2(1-\cos \lambda)+n_3 \sin \lambda & \cos \lambda+n_2^2(1-\cos \lambda) & n_2 n_3(1-\cos \lambda)-n_1 \sin \lambda \\ n_1 n_3(1-\cos \lambda)-n_2 \sin \lambda & n_2 n_3(1-\cos \lambda)+n_1 \sin \lambda & \cos \lambda+n_3^2(1-\cos \lambda) \end{array}\right)\left(\begin{matrix}\cos{\phi}\\sin{\phi}\\0\end{matrix}\right) \tag{1.1.7} \]

由式(1.1.7)得到\(u_1\)的表达式：

\[\begin{equation} \begin{aligned} u_1&=[\cos \lambda+n_1^2(1-\cos \lambda)]\cos{\phi}+[n_1 n_2(1-\cos \lambda)-n_3 \sin \lambda]\sin{\phi}\\ &=\cos{\lambda}\cos{\phi}+\sin^2{\phi}\sin^2{\delta_1}\cos{\phi}-\sin^2{\phi}\sin^2{\delta}\cos{\phi}\cos{\lambda} -\sin^2{\phi}\cos{\phi}\sin^2{\delta_1}+\sin^2{\phi}\cos{\phi}\sin^2{\delta_1}\cos{\lambda} +\cos{\delta_1}\sin{\phi}\sin{\lambda}\\ &=\cos{\lambda}\cos{\phi}+\sin{\lambda}\sin{\phi}\cos{\delta_1} \end{aligned} \tag{1.1.8} \end{equation} \]

同理，得到滑动向量\(\mathbf{u}\)的\(u_2\) 分量：

\[\begin{equation} \begin{aligned} u_2&=[n_1n_2(1-\cos{\lambda})+n_3\sin{\lambda}]\cos{\phi}+[\cos{\lambda}+n_2^2(1-\cos{\lambda})]\sin{\phi} \\ &=-\cos^2{\phi}\sin{\phi}\cos^2{\delta_1}+\cos^2{\phi}\sin{\phi}\cos^2{\delta_1}\cos{\lambda}-\cos{\delta_1}\cos{\phi}\sin{\lambda}+\sin{\phi}\cos{\lambda}+\cos^2{\phi}\sin{\phi}\sin^2{\delta_1}-\\ \space &\cos^2{\phi}\sin{\phi}\sin^2{\delta_1}\cos{\lambda}\\ &=\cos{\lambda}\sin{\phi}-\sin{\lambda}\cos{\phi}\cos{\delta_1} \end{aligned} \tag{1.1.9} \end{equation} \]

同理，得到\(u_3\)的分量：

\[\begin{equation} \begin{aligned} u_3&=[n_1n_3(1-\cos{\lambda})-n_2\sin{\lambda}]\cos{\phi}+[n_2n_3(1-\cos{\lambda})+n_1\sin{\lambda}]\sin{\phi}\\ &=\sin{\phi}\cos{\phi}\sin{\delta_1}\cos{\delta_2}-\sin{\phi}\cos{\phi}\sin{\delta_1}\cos{\delta_2}\cos{\lambda}-\sin{\delta_1}\cos^2{\phi}\sin{\lambda}\\ &-\cos{\phi}\sin{\delta_1}\cos{\delta_1}\sin{\phi}+\cos{\phi}\sin{\delta_1}\cos{\delta_1}\sin{\phi}\cos{\lambda}-\sin^2{\phi}\sin{\delta_1}\sin{\lambda}\\ &=-\sin{\lambda}\sin{\delta_1} \end{aligned} \tag{1.1.10} \end{equation} \]

综上，公式(1.1.8), (1.1.9)和(1.1.10)得到\(\mathbf{u}\)

\[\begin{equation} \begin{aligned} u_1&=\cos{\lambda}\cos{\phi}+\sin{\lambda}\sin{\phi}\cos{\delta_1}\\ u_2&=\cos{\lambda}\sin{\phi}-\sin{\lambda}\cos{\phi}\cos{\delta_1}\\ u_3&=-\sin{\lambda}\sin{\delta_1} \end{aligned} \tag{1.1.11} \end{equation} \]

（待续未完）