【刷题笔记】AT 经典 90 题

T2

爆搜
注意，string 只能与 string 运算，无法和 char 运算；访问 string 某一位时则是 char

T5

数位 DP。
转化题意：若 \(x\) 是 \(B\) 的倍数，则 \(x\mod B = 0\)。
先设计 DP 状态，设 \(f_{i,j}\) 表示看到第 \(i\) 位，且前 \(i\) 位组成的数模 \(B\) 为 \(j\)。

则 DP 转移方程：
\(f_{i + 1, (j + k \times 10 ^ i)\mod B } = f_{i + 1, j + (k \times 10 ^ i)\mod B } + f_{i,j}\)

由于当前这一位是任意的，没有任意限制，所以这玩意可以用矩阵快速幂转移，但是时间复杂度上还不够优。

发现转移矩阵中 \(1\) 的个数很少，所以舍弃矩阵改用倍增。改变 DP 状态为 \(f_{i,j}\) 表示看到第 \(2^i\) 位，且前 \(2^i\) 位组成的数模 \(B\) 为 \(j\)。转移方程:
\(f_{i + 1, (j + k \times 10 ^ {2^i})\mod B } = f_{i, j} \times f_{i,k}\)

T12

注意：在并查集合并时，如果某个点的父亲在不停改变，那么在合并时，一定是将最新的父亲合并。

T16

调和级数 + 数学
敲黑板：
1.做类似题时，可以先将必选所限制的去掉
2.将 \(n\) 个数分成 \(m\) 组，每组 \(\ge 0\)，则有 \(C_{n + m - 1} ^ {m - 1}\)

T23

轮廓线 DP。
注意！！ 总状态数很多很多 \(O(2^{24})\)，所以要先搜出基本合法的状态（不存在两个相邻的 \(1\)）（当然这样的状态也可能是不合法，但是这已经能大大减少总方案了，好像总方案大约为 \(O(10^5)\) 左右）。
还有就是注意只有 \(1\) 列的情况。

T25

超级无敌的神仙题。
考虑暴力枚举 \(m\) 的长度然后暴力枚举每一位的数值 \(1\sim 9\)，最后别忘特判数中存在数字 \(0\) 的情况（此时 \(f(m)=0,m = B\))

但是发现枚举 \(f(m)\) 再看是否存在对应的 \(m\)，比枚举 \(m\) 再看是否存在对应的 \(f(m)\) 要优。

为了不重不漏，可以枚举一个不降序列，作为 \(m\) 的各位，将序列中的各个数字乘起来当作 \(f(m)\)，发现在 \([1,10^{11}]\) 中符合要求的 \(f(m)\) 好像只有 \(70000\) 多，即在 \([1,10^{11}]\) 中能被分解为 \(1\sim 9\) 相乘的数是极少的。

特别注意，枚举 \(f(m)\)，算出 \(m\) 后别忘判 \(m\le n\)

T30

在用欧拉筛筛质数的时候，同时计算每个数可以被分解为多少不同的质因数。

cnt[i * prime[j]] = cnt[i] + (i % prime[j] > 0);

T31

SG 函数，被秒了。

T59

无向图 的连通性可以用并查集维护，那么 有向图 呢？

敲黑板！！！！ 可以用 bitset 维护。
对于每个点可一个 bitset，用 \(bs_{u,v}\) 记录 \(u\) 是否能到达 \(v\)，然后建反图跑一边拓扑排序，每次 若原图上 \(u\) 能到 \(v\) 则 \(bs_u |= bs_v\)。时间复杂度 \(O(m\times \frac{n}{w})\)

但是这就完了吗，不，空间会炸。
于是折半大法，先处理 \(\le md\) 的询问，再处理 \(> md\) 的询问，这样就可以将空间减小一半。

T62

又又是一道神仙题。

形式化题意：将 \(A_i,B_i\) 分别向 \(i\) 连边。则题目变成了删点，只能删入度 \(\ge 1\) 的点，给出一种将题目中的所有点删完的方案。

经典转化 删点变加点：倒着加点，若新加入 \(u\)，则将 \(u\) 相连的所有点入度 \(+1\)，若有新的点入度变成 \(1\)，那么就加入他，然后再用他去扩展更多点。写个类似拓扑排序的东西就过了。

T71

边深搜边拓扑。

用一个 deque 记录当前可选的点有哪些，每次选一个就点把他 pop_front()，然后把能直接到达的点入度减一，用完后 push_back()（保证每个点只会被选一次）。
一个点能被加入 deque 当且仅当他的入度为 \(0\) 时。

无解的情况可能有两种：

• 拓扑图有环
• 限制太严了，凑不出 \(k\) 种方案。

一点要先判第一种情况，不然可能会一直搜直到搜满所有情况，就炸了。

时间复杂度 \(O(kn)\)，因为每次搜（要是没环）必然能搜出一种方案，搜出一种方案时间复杂度 \(O(n)\)。

T80

暴力容斥（钦定哪些条件不被满足）/状压 DP。

注意：

1. \(2^{20}>10^6+10\)
2. __builtin_popcount 的参数是 int 类型，要是参数是 long long 要写 __builtin_popcountll
3. 1 << 40 会爆 int 要写 1ll << 40

T83

又又又是一道神仙题。

若边数共 \(m\) 条，则每个点的度数和为 \(2m\)，所以度数大于 \(\sqrt m\) 的点最多 \(O(\sqrt m)\) 个。

设 \(tag_x\) 表示 \(x\) 的标记，\(ans_x\) 表示最晚更改 \(x\) 的询问编号。
考虑根号分治。对于每次染色，若 \(x_i\) 的度数大于 $\sqrt m $ 就在点上打一个标记 \(i\)，否则就暴力染色，更改每个点的 \(ans\)（初始为 \(0\)）。
对于每次查询，将 \(x_i\) 的 \(ans\) 与于他相连的所有度数大于 \(\sqrt m\) 的点的 \(tag\) 取 \(\max\) 记为 \(w\)，答案就是 \(y_w\)。