2025 CSP-S 补题笔记

T1

CCF 你是人！这么爱考贪心。
去年 NOIP 就因为贪心挂到 40 pts。
但好在这次看到 \(\frac{n}{2}\)，立刻就想到艾米娅家的饭，于是 20min 就场切了。

T2

一眼性质，然后写了个 80pts 的暴力，算了算复杂度好像过不了，瓶颈在排序，于是想到折半预处理，我写写写，终于在 2.5h 的时候通过了本题。回家后看了题解-我 tm 真是 sb，为啥要写折半，直接一开始排一边就完了。

T3

只有 25 pts。

首先有性质：
如果字符串 \(t_1\) 能通过 \(s_1,s_2\) 替换形成 \(t_2\)，那么必然 \(t_1,t_2\) 的 恰好不同串，与 \(s_1,s_2\) 的 恰好不同串 是相同的。

因此我们可以将 \(s_1,s_2\) 按它的两个恰好不同串的哈希值分类。

除了恰好不同串相同的限制，还有一条限制：\(s_1\) 恰好不同串左边的串必然是 \(t_1\) 恰好不同串左边串的后缀，\(s_1\) 恰好不同串右边的串必然是 \(t_1\) 恰好不同串左边串的前缀。

于是我们可以对一类 \(s_1,s_2\) 建一棵后缀 Trie 树存储相同的左串，以及一棵前缀 Trie 树存储相同的右串。对于一组询问 \(t_1,t_2\) 设他们的相同的左串在后缀 Trie 树上最远能走到 \(u_1\)，他们的相同的右串在前缀 Trie 树上最远能走到 \(u_2\)。

于是问题就转化为了有多少组 \(s_1,s_2\) 他们相同的左串结束点为 \(v_1\)，右串结束点为 \(v_2\)，满足 \(v_1\) 是 \(u_1\) 的祖先，\(v_2\) 是 \(u_2\) 的祖先。

对于这种二维偏序类问题，考虑扫描线。

对于每组询问先处理出 \(u_1,u_2\)，并在对应的后缀 Trie 树 \(u_1\) 上打上标记。扫后缀 Trie 树，假设当前扫到了 \(u\) 点，就将其在前缀 Trie 树上对应的 \(v\) 点的子树都加 \(1\)（只会对子树内的点有贡献）。每次在后缀树上遇到一个询问标记，就查他在前缀树上的对应点的值（树状数组维护即可）