【学习笔记】bitset

例题cf878d

考虑只有 \(0,1\) 的情况：显然可以对 \(k\) 种生物，每种生物 \(i\) 都开一个大小为 \(n\) 的 bitset \(b_i\)。\(\max(x,y)\) 操作就是 \(b_x | b_y\)，\(\min(x,y)\) 操作就是 \(b_x \& b_y\)。

拓展到一般情况：可以将 \(n\) 列的 \(k\) 个数字离散化到 \(1\sim k\) 的值域当中。假设 \(a_{i,j}=v\)，可以将它变成 \(2^v - 1\)，存到 bitset 中，这样原来的 \(nk\) 个数就以 \(0,1\) 的形式存到了 \(nk^2\) 大小的 bitset 中（每个数占用 \(k\) 大小的 bitset，有 \(nk\) 个数），这样就可以继续用 bitset 维护。时间复杂度 \(O(nkq/\omega+nk^2)\)。

考虑优化：发现维护了很多冗余的信息，因为最多只有 \(2^k\) 个本质不同的列，但是现在实际上维护了 \(nk\) 个列。考虑两个相同的列，不管怎么操作它们都还是相同的，因此不管如何操作，最后本质不同的列还是只有 \(2^k\)。

可以先预处理出 \(k\times 2^k\) 大小的 bitset，每次操作就把两个大小为 \(2^k\) 的 bitset 进行位运算，将新生成的一个 bitset 放到下面。设 \(id_{i,j}\) 表示第 \(i\) 大列，第 \(j\) 小列的类型（共 \(n\) 大列，每一大列有 \(k\) 小列），如果要查询 \(a_{i,j}\) 的值，可以先算出出 \(\sum_{s = 1}^k b_{i,id_{j,s}}\) 即可，即是第几大的数，然后在映射回离散化前的数值。时间复杂度 \(O(2 ^ kq/\omega + k/\omega)\)