【刷题笔记】CF1082F Speed Dial

【刷题笔记】CF1082F Speed Dial

题解

首先根据题目意思，按键绑定的号码一定是某几个 字符串的前缀。
所以我们可以先建一棵 Trie，Trie 的点权是以当前这个 节点为结尾的电话号码所被拨打得次数。
于是问题转化为了从 Trie 上选取 \(k\) 个点，使得 \(\sum w_i\times d_i\) 最小，其中 \(w_i\) 是第 \(i\) 个点的点权，\(d_i\) 是第 \(i\) 个点到距离它最近的被选取的祖先。

考虑 DP 转移。
如果只是设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 的子树中选取了 \(j\) 个点，那么就会发现很难计算新选的点对子树中答案的影响，于是 新增加一维，设 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(i\) 的子树中选取了 \(j\) 个点，距离 \(i\) 为 \(k\) 的祖先也被选了（这个祖先是不被包括在 \(j\) 个点内的，除非 \(k=0\)）。这有点类似于提前算贡献。
容易写出 DP 方程

\[f_{u,j,k} = \min(f_{u,j-x,k}+f_{v,x,k+1}) \]

但是还有几点需要注意，由于 \(k \ge 0\)，所以 \(k+1\ge 1\)，但是实际上 \(k+1\) 是可以为 \(0\) 的，所以 DP 方程应该为

\[f_{u,j,k} = \min(f_{u,j-x,k}+\min(f_{v,x,k+1},f_{v,x,0})) \]

同时若 \(k=0\)，则要保证 \(j-x\ge 1\)，其余情况下\(j-x\ge 0\)。