【学习笔记】虚树

简介

虚树就是一种很无奈时的无赖做法
--唐末
当题目中答案只与某些关键点有关，而关键点很稀疏时，就可以用虚树将整棵树浓缩。

建虚树

• 方法一：
  二次排序 + LCA 连边

1. 将所有关键点按 dfn 序排序，求出相邻两个点的 LCA（确定虚树中的所有点）。
2. 将所有 LCA 及关键点去重并再次按 dfn 序排序。
3. 算出相邻两个点 x,y 的 LCA 并与 y 连边。
   证明：若 x 为 y 的祖先，即 y 是 x 的第一个儿子，由于 dfn 序相邻，所以两者之间无其它点，所以只会被他们相连。
   若 x 不为祖先，即 y 不是 LCA 的第一个儿子，由于 dfn 序相邻，所以 y 到 LCA 之间无其他点。
   性质：可以发现，每两个关键点最多会生成一个虚点，所以算上钦定的根节点 1，虚树上最多会有关键点数 \(\times 2\) 个节点（类似满二叉树）。

• 方法二
  单调栈
  首先单调栈维护的是虚树中的一条链。

1. 将 1 节点压入栈，并将所有关键点按 dfn 序排序。
2. 将排好序的点逐个加入栈：
   求出当前点 x 与栈顶结点 y 的 LCA 节点 l，
   若 y 就是 l，说明 x 与 y 在一条链上，直接把两个点连起来就行；
   若 l 不是栈顶结点，说明不在同一条链上，就将多余的点弹掉（并同时连边），并判断 l 是否在栈内，若不在就压入栈（具体步骤看 OIwiki）。
3. 将还在栈内的点弹掉并连边。