【学习笔记】欧拉序 + RMQ 求 LCA

几个概念

• dfs 序：dfs 遍历的节点序列（第 \(i\) 次访问几号节点）
• 欧拉序：与 dfs 序类似，但是返回时也要记录（长度为 \(2n-1\)）

性质：设 dfs 序列为 \(a\)，则 \(a_{dfn_i}=i\)。

步骤：

• dfs 预处理出欧拉序，和第一次以及最后一次在欧拉序上出现的位置
• 预处理出 ST 表，求出区间内最小深度节点的编号
• 查询 dfn[u],dfn[v] 之间深度最小的点（单次\(O(1)\)）

code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
using namespace std;
int cnt = 0, head[N], n, m, s;
int tim = 0, dfs[N], dfn[N], dep[N],f[N][30];
struct edge{
	int to, next;
}e[N];
void add(int x, int y){
	e[++cnt].to = y;
	e[cnt].next = head[x];
	head[x] = cnt;
} 
void Dfs(int u, int fa){
	dfs[++tim] = u, dfn[u] = tim;
	dep[u] = dep[fa] + 1;
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].next){
		int v = e[i].to;
		if(v != fa){
			Dfs(v, u);
			dfs[++tim] = u;
		}
	}
}
void init(){
	int len = (n << 1) - 1, k = log2(len);
	for(int i = 1; i <= len; i++) f[i][0] = dfs[i];
	for(int j = 1; j <= k; j++){
		for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= len; i++){
			if(dep[f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]] < dep[f[i][j - 1]])
				f[i][j] = f[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
			else f[i][j] = f[i][j - 1];
		} 
	}
}
int query(int L, int R){
	if(L > R) swap(L, R);
	int x = log2(R - L + 1);
	if(dep[f[L][x]] < dep[f[R - (1 << x) + 1][x]])
		return f[L][x];
	else return f[R - (1 << x) + 1][x];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int x, y; cin >> x >> y;
		add(x, y); add(y, x);
	}
	Dfs(s, 0);
	init();
	while(m--){
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		cout << query(dfn[x], dfn[y]) << endl;
	}
	return 0;
}