浅谈泰勒展开与 EGF

近期在学了导数之后，看回两年前完全搞不懂的母函数，有了和原来不同而且更深刻的体会。以下将着重展示泰勒展开的推导以及常见的母函数的验证。

泰勒展开

先给出公式：\(f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)\)，其中 \(f^{(n)}(x_0)\) 表示 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的 \(n\) 阶导数。

这式子看着有点奇怪，不急，我们慢慢分析它的来源。以下用到以直代曲近似的重要思想。

考虑当 \(x\rightarrow x_0\) 时，在 \(x_0\) 附近用 \(n\) 次多项式函数 \(P_n(x)\) 近似 \(f(x)\)，设 \(P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\)，使 \(f(x)-P_n(x)\) 是 \((x-x_0)^n\) 的高阶无穷小。接下来进行推导：

\[f(x_0)=P_n(x_0)=a_0,a_0=f(x_0) \]

\[f'(x_0)=P'_n(x_0)=[a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\cdots+na_n(x-x_0)^{n-1}=a_1,a_1=f'(x_0) \]

\[f''(x_0)=P''_n(x_0)=[2\times 1a_2+3\times 2a_3(x-x_0)+\cdots+n(n-1)(x-x_0)^{n-2}]=2a_2,a_2=\dfrac{f''(x_0)}{2!} \]

\[f'''(x_0)=P_n'''(x_0)=[3!a_3+4\times3\times2a_4(x-x_0)+\cdots+n(n-1)(n-2)(x-x_0)^{n-3}]=3!a_3,a3=\dfrac{f'''(x_0)}{3!} \]

\[\cdots \]

\[f^{(n)}(x_0)=P^{(n)}(x_0),a_n=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \]

当 \(n\rightarrow +\infty\) 时，得到

\[f(x)\approx P_n(x)=f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

这便是泰勒公式。