三大实用的分治算法

点分治

适用于统计路径、点对问题：

核心思想：以当前子树的重心作为当前节点，将该子树内路径分为两类：

• 不经过重心，到子树递归即可
• 经过重心，直接计算每个点到重心的信息，用双指针等计算答案。

在重心处统计答案可能会有不合法（如同一子树两个点，先过来重心再原路返回），考虑容斥，先算总的，再算每棵子树独立的，相减即可。

时间复杂度一般 \(O(n\log^2n)\)。

P3806 【模板】点分治 1

先将所有询问离线下来，并一次点分治计算出所有可能出现的距离，判断是否出现即可。

时间复杂度 \(O(nm\log n)\)。

计算经过重心路径策略：用先前的路径长度与当前的路径长度判断完后，再加入当前路径长度，不重不漏。

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P4178 Tree

进行一次点分治即可。\(O(n \log^2 n)\)。

经过重心路径策略：先统计所有距离的组合方案，再减去每一棵子树内部的组合方案。

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CDQ 分治

适用于解决三维偏序问题（或转化为）。

核心思想：一维排序，二维归并，三维树状数组。

二维偏序有两种解法：对 \(a\) 排序后，对 \(b\) 树状数组或归并排序。在归并排序法中，假设当前排序区间 \([l,r]\)，且 \(i<j,b_i \le b_j\)，则 \(b_{[l,i]} \le b_j\)，直接双指针计算这个最大的 \(i\) 即可计算贡献。树状数组则直接用下标表示值域，前缀和表示不超过当前数的个数。

在三维偏序中，则是将这两种思想结合起来。对 \(b\) 归并排序过程中，找到了这个 \(i\) 后，就可以查询 \(c_j\) 的贡献了，否则当前的 \(c_i\) 要更新树状数组（因为后面计算贡献要用到）。

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

思路基本同上，对于完全相同的元素，要去重为一个，并记录出现次数 \(v\)，更新树状数组时要用出现次数更新，最后计算每个元素的答案时要加上 \(v-1\)，统计答案出现次数时应加上 \(v\)。\(O(n \log^2 n )\)。

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P4093 [HEOI2016/TJOI2016] 序列

记第 \(i\) 个位置原本 \(a_i\)，最小 \(mi_i\)，最大 \(mx_i\)，则能转移的前提是 \(j \le i,mx_j\le a_i,a_j\le mi_i\)。发现这是个三位偏序的形式，直接 CDQ 分治即可。树状数组存储最大值。

• 应当先递归 \([l,mid]\)，后处理 \([l,r]\) 整体的答案，最后递归 \([mid+1,r]\)。

• 用一个数组存储下标，再排序，避免对 \(a\) 数组本身产生影响。

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P2487 [SDOI2011] 拦截导弹

显然 \(j<i,a_j<a_i,b_j<b_i\) 时才能转移。最大的长度是经典的 dp，处理方法基本同上一问。接下来考虑如何求概率。

设当前点为结尾最长不上升子序列长度 \(f1_i\)，以当前点为开头最长不上升子序列长度为 \(f2_i\)。当 \(f1_i+f2_i-1\)（\(i\) 算重）为答案时，说明 \(i\) 有可能被选到。总方案数为 \(f1_i=ans\) 的 \(g1_i\) 的和，当前为 \(g1_i \times g2_i\)，做除法即可。\(f1\) 直接求，\(f2\) 将序列反转后求最长不下降。\(g\) 为最大值的方案数，在更新树状数组时同时维护即可。

注意记录出现次数的变量都要开 double。

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整体二分

P2617 Dynamic Rankings

除了树套树做法外，整体二分也是可以的。

整体二分的主要思想是：通过对值域进行一次二分，来求多个区间排名，从而替代了树套树中的权值线段树。具体地，我们把所有操作按时间先后顺序确定后，假设当前的值域中点为 \(mid\)，那么按原顺序进行所有修改值不超过 \(mid\) 的操作，用对应的下标更新树状数组。同时对于中间穿插的查询操作，利用树状数组求出 \([l,r]\) 内不超过 \(mid\) 的数的个数，再与 \(k\) 比较决定答案在 \(mid\) 的哪侧，递归下去即可。当值域缩小为一个数时，此时包含的查询的答案即为这个数。

一些注意点：

• 修改操作要分解为删除和插入两步。

• 初始输入的 \(a\) 应转为 \(n\) 个插入操作。

• 将操作划分为左右两部分时要按原顺序存储，即时间顺序不能改变。

离散化后，由于最多有 \(n+m\) 个不同的数，因此递归最多 \(\log_2(n+m)\) 层，总操作数 \(n+m\)，每层执行所有操作时间复杂度 \(O((n+m) \log (n+m) )\)，总时间复杂度 \(O((n+m)\log^2(n+m))\)，实际最大点不到 300ms。（当然不离散化也可以）

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P1527 [国家集训队] 矩阵乘法

基本同上题，同样二分值域，只不过变成了用二维树状数组维护。

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