好题推荐26.7~26.9

好题推荐&思路分析

这里主要目的是还原解题思路，因此这里的好题都是思路精简神奇但代码实现较为简单，以至于难以凑出一篇题解的。

很可惜，整个 7~9 月只找到了这一道满足这个要求的题。那结果不等价于单列了一篇题解吗

2026/7

数据结构相关

[SCOI2016] 萌萌哒

（update on 7/16）

由于某些原因，我开局就知道算法名称，所以这里先直接说结论：考虑倍增的并查集，具体来说，建一个类似于 ST 表的结构，使得 $ fa_{i,x} $ 表示 $ [i,i+2^x] $ 和 $ [fa_{i,x},fa_{i,x}+2^x] $ 相同。然后使用 ST 表的下放结构就做完了，复杂度 \(O(n \log n)\)。

接下来是一种我事后拟合出来的可能的分析：

通过注意力，发现可以用并查集之类的东西搞。朴素并查集的 30pts 是显然的。无非就是考虑区间优化，不妨考虑线段树优化建图。如果你见多识广，应该会见过一个叫“线段树优化建图”的东西。具体来说，一般地线段树优化建图如下：

一个节点，代表区间 $ [l,r] $，他连向（被连向）两个点，分别代表 $ [l,mid] $ 和 $ [mid+1,r] $，然后就用线段树的结构做就可以了。如果有一个点，想要向一个区间的点连边，那么就可以像线段树一样，像构成这个区间的 $O(\log) $ 个节点连边。

我们可以使用类似于线段树优化建图的思想，但是注意到，块之间的差不是整数（二进制下），所以我们理论上要对每个点为开始，建一棵线段树，也就是 \(O(n)\) 个线段树。具体地，对于每个 $[i,n](i \le n) $ 都要作为根节点建一次，这样才能保证复杂度。

但是显然是有很多点是重复的，至少叶子节点建一次就够。具体分析一下，假设当前层的区间长度为 $ W=2^{floor} $，那么对于这一层，只需要建 \(W\) 次就够了，第 \(i\) 次从 $ i $ 开始，当第 $ W+1 $ 次时恰好与第 \(1\) 次重合。这里的一次指正常线段树的一整层。

然后我们修改一下观察方式，敏锐地发现，这个东西不就是对于每个点，建了一个区间代表 $[i,i+W] $ 吗？然后这玩意的儿子们不就是 $ [i,i+2^{floor-1}]$ 和 $[i+2^{floor} -1 , i+W] $ 吗？到此为止，这玩意已经完全和上方的并查集重合了，省去了线段树繁杂的结构，退化成了类似于 ST 表的结构。

然后你就做完啦！

代码易写。