P7213 最古の遺跡 3 题解-dp 好题

P7213 最古の遺跡 3

见到两次了，但是第二次忘了，遂随手题解一篇。

原，太原了！但也忘了

题目描述

你有 \(2N\) 个柱子，每个柱子各有一个高度，且对于 $ 1 \le k \le N $，各有两根柱子的高度为 \(k\)。现在，发生了 \(N\) 次地震，每次地震会使一些石柱的高度 \(-1\)，其他石柱高度不变。

• 石柱 \(i\) 地震时高度不变，当且仅当 \(h_i\ge 1\) 并且对于 \(j>i\) 都要有 \(h_i\not=h_j\)。

\(N\) 次地震后，恰好只剩下了 \(N\) 个石柱。仅存的 \(N\) 个石柱的位置分别是 \(A_1,A_2,\ldots,A_N\)，问最初 \(2N\) 个石柱高度的修建方案数 \(\bmod~10^9+7\) 的值。

$ n\le 600$，时间 4s。

分析

注意到，可以考虑从后往前震柱子。如果后面有所有的 $ 1\sim h $ 柱子，那么前面的 $ <h $ 的柱子全部木大。以此 dp $ f_{i,j} $ 表示考虑到后 \(i\) 个，其中 $ 1 \sim j$ 都有。

定义前面有 \(c_0\) 个柱子被震没了（不含自身），有 \(c_1\) 个柱子还在（称之为标准柱），那么分类讨论转移：

• 如果 \(i\) 震没了，合计 \(2j\) 种可能，标准柱用了 \(j\)，其他震没柱用了 \(c_0\)，则 $ f_{i,j} \leftarrow (j-c_0)f_{i+1,j} $.
• 如果 \(i\) 还在，那么分讨其震完后是否为 $ j+1 $：
• • 若不是，则不管他，$ f_{i,j} \leftarrow f_{i+1,j} $；
• • 否则，考虑有了 \(j+1\)，能否将之前的一些柱子连起来。枚举连了 \(k\) 个柱子（包括自己），接下来分析系数：首先，标准柱本身的高度可能为 $ k-1 $ 种可能；其次，从前面任选一些标准柱作为 $j+2\sim k $，系数为 $\binom{c_1-j}{k-1} $；以及，那些柱子之间的顺序，称之为 \(g_k\).

接下来分析 \(g\)。不难想到 \(g_i\) 的组合意义是“有 \(i\) 个柱子没有被震没，且最后分别为 $ 1 \sim i $ 的方案数”。直接枚举最前一个柱子的高度 \(j\)，将整个高度序列分成 \(j-1\) 和 \(j-i\) 两半，自己有 \(j+1\) 种选法，最后式子为 $g_i=\sum_{j\le i} \binom{i-1}{j-1} \times g_{j-1} \times g_{i-j} \times (j+1) $

综上，做完啦！复杂度 $ O(n^3) $

代码

void mian()
{
	read(n);m=n*2;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;read(x);
		c[x]=1;
	}
	g[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			modadd(g[i],1ll*g[j-1]*g[i-j]%Mod*C(i-1,j-1)%Mod*(j+1)%Mod);
		}
	}
	int c0=0,c1=0;
	f[m+1][0]=1;
	for(int i=m;i;i--)
	{
		if(c[i]==0)
		{
			for(int j=c0;j<=n;j++)
			{
				f[i][j]=1ll*f[i+1][j]*(j-c0)%Mod;
			}
			c0++;
			continue;
		}
		for(int j=0;j<=c1+1;j++)
		{
			f[i][j]=f[i+1][j];
			for(int k=0;k<j;k++)
			{
				modadd(f[i][j],1ll*f[i+1][k]*C(c1-k,j-k-1)%Mod*(j-k+1)%Mod*g[j-k-1]%Mod);
			}
		}
		c1++;
	}
	int res=f[1][n];
	modmul(res,ksm(inv(2),n));
	cout<<res;
}

参考资料

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