P14367 [JOISC 2018] 帐篷 / Tents

思路

注意到重要性质：每确定一对帐篷，那么这对帐篷所在行和列不能放置其他帐篷，这将解释后来的方案之间为什么不会互相冲突。

考虑设计 \(dp_{ i , j }\) 表示营地大小 \(i\) 行 \(j\) 列时的方案数，逐行计算，对于每一行的放置：

• 若第 \(i\) 行不放，直接转移 \(dp_{ i , j } + = dp_{ i - 1 , j }\)

• 若第 \(i\) 行放置一个，所在列没有其他帐篷，首先从 \(j\) 个位置里选出一个位置来放置，且由于所在行与列均没有其他帐篷，方向任取，那么 \(dp_{ i , j } + = \binom { j } { 1 } \times 4 \times dp_{ i - 1 , j - 1 }\)

• 若第 \(i\) 行放置一个，与同列异行另一个帐篷配对，相比前一种情况方向不能任取，且需要乘上从前 \(i - 1\) 行里选出一行放置与之配对的帐篷的方案数，有 \(dp_{ i , j } + = \binom {j} { 1 } \times \binom { i - 1 } { 1 } \times dp_{ i - 2 , j - 1 }\)

• 若第 \(i\) 行放置两个，则方向固定，只需 \(dp_{ i , j } + = \binom { j } { 2 } \times dp_{ i - 1 , j - 2 }\)

代码实现就很简单啦，我这里为了显示思路预处理了组合数，实际实现过程中 \(\times \binom { i } { 1 }\) 可以直接写作 \(\times i\)，注意保证方案不能为空，答案需要减一。

Code

#include<iostream>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=3005;
const int MOD=1e9+7;
int n,m,fac[N],inv[N],dp[N][N];
int Quick_Pow(int a,int b)
{
    int res=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=1ll*res*base%MOD;
        base=1ll*base*base%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void Init(int n)
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
    inv[n]=Quick_Pow(fac[n],MOD-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
int C(int n,int m)
{
    return 1ll*fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}
int main()
{
    IOS;
    cin>>n>>m;
    Init(max(n,m));
    for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[i][0]=1;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j];//不放
            dp[i][j]=(dp[i][j]+1ll*C(j,1)*4*dp[i-1][j-1]%MOD)%MOD;//放一个，且所在列没有其他帐篷
            dp[i][j]=(dp[i][j]+(i>=2)*1ll*C(j,1)*C(i-1,1)*dp[i-2][j-1]%MOD)%MOD;//放一个，与所在列另一帐篷相对
            dp[i][j]=(dp[i][j]+(j>=2)*1ll*C(j,2)*dp[i-1][j-2]%MOD)%MOD;//放两个
        }
    }
    cout<<dp[n][m]-1<<'\n';
    return 0;
}

完结撒花～