P12621 [ICPC 2025 NAC] Circle of Leaf

P12621 [ICPC 2025 NAC] Circle of Leaf

题意简介

给定一棵树，在每个叶子节点和根节点之间添加连边，求删除一些边后能形成多少种不同的树。

思路

考虑动态规划，设 \(dp_{i,1/0}\) 表示在以 \(i\) 为根的子树中是/否使用“叶子”边的方案数。

对于 \(u \rightarrow v\)，自下而上地更新 \(dp\) 值，可分为两种情况：

• 若不删去 \(u \rightarrow v\) 这条边，\(dp_{u,0}\) 仅有一种贡献来源即 \(dp_{u,0}=dp_{u,0} \times dp_{v,0}\)，而 \(dp_{u,1}\) 有两种选择，分别是将“叶子”边接在 \(u\) 的别的孩子上或接在 \(v\) 的子树上，也就是 \(dp_{u,1}=dp_{u,1} \times dp_{v,0} + dp_{u,0} \times dp_{v,1}\)。

• 若删去 \(u \rightarrow v\) 这条边，则 \(dp_{u,0}=dp_{u,0} \times dp_{v,1}\)，此时 \(u\) 的别的孩子与 \(v\) 的子树上均可以接“叶子”边，有 \(dp_{u,1}=dp_{u,1} \times dp_{v,1}\)。

时间复杂度显然 \(O(n)\)。

Code

#include<iostream>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int MOD=998244353;
int n,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],cnt=0;
long long dp[N][2];
void add(int u,int v)
{
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int father)
{
	if(father) dp[u][0]=1;
	int son=0;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==father) continue;
		son++;
		dfs(v,u);
		dp[u][1]=(dp[u][1]*dp[v][0]%MOD+dp[u][0]*dp[v][1]%MOD+dp[u][1]*dp[v][1]%MOD)%MOD;
		dp[u][0]=(dp[u][0]*dp[v][0]%MOD+dp[u][0]*dp[v][1]%MOD)%MOD;
	}
	if(!son) dp[u][0]=dp[u][1]=1;
}
int main()
{
	IOS;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		add(u,v),add(v,u);
	}
	dp[1][1]=1;
	dfs(1,0);
	cout<<max(dp[1][1],dp[1][0])<<'\n';
	return 0;
}

完结撒花～