【1】做题心得 - 2025 NOIP #33 - T2

题目大意：\(n\) 个球可以放在前 \(a_i\) 个位置，选不超过 \(m\) 个球，贡献是一个箱子内没有两个球的方案数，并且我们不能选择距离 \(<k\) 的两个球。求最大贡献。

思路：注意到贡献是好求的。将所选 \(a_i\) 排序，贡献就是 \(\prod_{i=1}^m(a_i-i+1)\)。也就是剩余 \(a_i-i+1\) 个位置给第 \(i\) 号球放。然后我们考虑 dp。设 \(f_{i,\text{S}}\) 为前 \(i\) 个球，相对考虑位置所选集合 \(\text{S}\)。那么当 \(\text{S} \notin l\) 时，有转移 \(f_{i,\text{S}\cup l}=\max(f_{i,\text{S}\cup l},f_{\max(0,i-k),\text{S}}\times(a_i-l+1))\)，也就是考虑选择 \(a_i\)。

注意到答案范围是 \(<10^{9m}\) 的，也就是 \(10^{90}\) 数量级，就需要用卡常高精度，常数 \(\mathcal O(10)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10,M=(1<<10)+1;
const int ydN=15,P=1e9;
struct ib{
	#define ll long long
	ll a[ydN];
	ib(){
		for(int i=1;i<=10;i++)
			a[i]=0;
	}
}res;
ib Mul(ib x,int y){
	ib z=ib();
	for(int i=1;i<=10;i++){
		z.a[i]+=x.a[i]*y;
		z.a[i+1]+=z.a[i]/P;
		z.a[i]%=P;
	}
	return z;
}
ib Max(ib x,ib y){
	for(int i=10;i;i--){
		if(x.a[i]>y.a[i])
			return x;
		else if(x.a[i]<y.a[i])
			return y;
	}
	return x;
}
ib f[N][M];
void Print(ib x){
	bool zero=0;
	for(int i=10;i;i--){
		if(zero)
			printf("%09d",x.a[i]);
		else if(x.a[i])
			zero=1,
			printf("%d",x.a[i]); 	
	}
	return;
}
void maxs(ib &x,ib y){
	x=Max(x,y);
	return;
}
int n,m,k,a[N];
int main(){
	freopen("ball.in","r",stdin);
	freopen("ball.out","w",stdout);
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	f[0][0].a[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<(1<<m);j++)
			f[i][j]=f[i-1][j];
		for(int j=0;j<(1<<m);j++){
			for(int l=0;l<min(m,a[i]);l++){
				int w=(j>>l)&1;
				if(!w)
					maxs(f[i][j|(1<<l)],Mul(f[max(0,i-k)][j],a[i]-l));
			}
		}
	}
	res=ib();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		maxs(res,f[n][(1<<i)-1]);
	Print(res);
	return 0;
}

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