学习心得 - 数据结构 - FHQ Treap

哦不终于学会 FHQ Treap 了。

FHQ Treap 的本质

这个东西其实就是 Treap 的一种实现。它通过对树的拆分和合并完成 Treap 能实现的几乎所有操作，操作又简单。每一次可以把原树拆分成以 \(rtl\) 和 \(rtr\) 为根两颗子树。然后再查询其中的一些信息做到成功维护信息。

维护信息 \(\tt PushUp\)

我们需要维护的信息是节点权值（随机）、节点信息和节点大小。那么，我们的 \(\tt pushup\) 其实就是直接更新 \(sz\)，也就是 \(a_p.sz=a_{a_p.ls}.sz+a_{a_p.rs}+1\)。

::::success[参考代码]{open}

void pushup(int p){ 
	a[p].sz=a[a[p].ls].sz+a[a[p].rs].sz+1;
	return;
}

::::

拆分树 \(\tt Split\)

这个操作就是把树切开，切成以 \(rtl\) 和 \(rtr\) 为根两颗子树，如图：

这样切割，就可以拆分成两颗以 \(2\)、\(5\) 为根的子树。

切割后：

具体看代码：

::::success[参考代码]{open}

void split(int p,int val,int &rtl,int &rtr){
	if(!p){ // 特别的，在插入第一个数的时候是空树
		rtl=rtr=0;
		return;
	}
	if(a[p].val<val) // 更大，往右走
		rtl=p,split(a[p].rs,val,a[p].rs,rtr);
	else // 否则，往左走
		rtr=p,split(a[p].ls,val,rtl,a[p].ls);
	pushup(p); // 合并
	return ;
}

::::

合并树 \(\tt Merge\)

::::warning[警告]{open}
合并必须要保证值域不重复。否则合并就需要使用启发式合并，可是这可以卡到 \(\mathcal O(n\log n)\)。这就需要把树分成尽量小的段再合并，又称有交合并。

具体的，我们需要维护一个最小端点 \(minval_i\)，每一次维护就给左中右合并一下，然后每一次快速合并，复杂度是 \(\mathcal O(n\log^2 n)\)。
::::

其实这个东西就是给每一个节点赋一个随机权值，然后像启发式合并一样合并。

::::success[参考代码]{open}

int merge(int u,int v){
	if(!u||!v) // 合并空树
		return u|v;
	if(a[u].rnd<a[v].rnd){ // 看随机权值大小
		a[u].rs=merge(a[u].rs,v),pushup(u); // 递归合并
		return u; // 返回合并新根
	}else{
		a[v].ls=merge(u,a[v].ls),pushup(v); // 递归合并
		return v; // 返回合并新根
	}
}

::::

扩展操作

然后就这样我们可以通过组合它们进行操作。

void insert(int val){
	Node(val); // 建立新点
	int rtl,rtr;
	split(rt,val,rtl,rtr); // 把树直接从根节点往下剖开
	rt=merge(merge(rtl,tot),rtr); // 然后插进去（？）
	return;
}
void del(int val){
	int rtl,rtr,rta,rtb;
	split(rt,val,rtl,rtr); // 剖开
	split(rtr,val+1,rta,rtb); // 剖开
	rta=merge(a[rta].ls,a[rta].rs); // 合并，并把 val 抛弃
	rt=merge(rtl,merge(rta,rtb));
}
int rnk(int val){
	int rtl,rtr,res;
	split(rt,val,rtl,rtr);
	res=a[rtl].sz+1; // 左子树的大小其实是 <val 的数的个数，然后 +1 就是具体排名
	rt=merge(rtl,rtr); // 搞完放回去
	return res;
}
int kth(int k){ // 这个没有方法了，按照普通平衡树的方法找即可
	int p=rt;
	while(p){
		if(k==a[a[p].ls].sz+1) // 找到了
			return a[p].val;
		if(k<=a[a[p].ls].sz) // 应当在左侧
			p=a[p].ls;
		else  // 右侧
			k-=a[a[p].ls].sz+1,
			p=a[p].rs;
	}
	return -1;
}
// 经典操作
int pre(int val){ 
	return kth(rnk(val)-1);
}
int nxt(int val){
	return kth(rnk(val+1));
}

参考代码（加强版）

::::success[参考代码]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1e6+10;
default_random_engine rander;
uniform_int_distribution<int>rnd(1,(int)1e9);
struct FhqTreap{
	struct node{
		int val,sz,ls,rs,rnd;
	}a[N<<2];
	int tot=0,rt=0;
	void Node(int val){
		++tot;
		a[tot]={val,1,0,0,rnd(rander)};
		return;
	}
	void pushup(int p){
		a[p].sz=a[a[p].ls].sz+a[a[p].rs].sz+1;
		return;
	}
	void split(int p,int val,int &rtl,int &rtr){
		if(!p){
			rtl=rtr=0;
			return;
		}
		if(a[p].val<val)
			rtl=p,split(a[p].rs,val,a[p].rs,rtr);
		else
			rtr=p,split(a[p].ls,val,rtl,a[p].ls);
		pushup(p);
		return ;
	}
	int merge(int u,int v){
		if(!u||!v)
			return u|v;
		if(a[u].rnd<a[v].rnd){
			a[u].rs=merge(a[u].rs,v),pushup(u);
			return u;
		}else{
			a[v].ls=merge(u,a[v].ls),pushup(v);
			return v;
		}
	}
	void insert(int val){
		Node(val);
		int rtl,rtr;
		split(rt,val,rtl,rtr);
		rt=merge(merge(rtl,tot),rtr);
		return;
	}
	void del(int val){
		int rtl,rtr,rta,rtb;
		split(rt,val,rtl,rtr);
		split(rtr,val+1,rta,rtb);
		rta=merge(a[rta].ls,a[rta].rs);
		rt=merge(rtl,merge(rta,rtb));
	}
	int rnk(int val){
		int rtl,rtr,res;
		split(rt,val,rtl,rtr);
		res=a[rtl].sz+1;
		rt=merge(rtl,rtr);
		return res;
	}
	int kth(int k){
		int p=rt;
		while(p){
			if(k==a[a[p].ls].sz+1)
				return a[p].val;
			if(k<=a[a[p].ls].sz)
				p=a[p].ls;
			else 
				k-=a[a[p].ls].sz+1,
				p=a[p].rs;
		}
		return -1;
	}
	int pre(int val){
		return kth(rnk(val)-1);
	}
	int nxt(int val){
		return kth(rnk(val+1));
	}
}T;
int n,m,a[N],lastans,ans;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	rander.seed(time(0));
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		T.insert(a[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op,x;
		cin>>op>>x;
		x^=lastans;
		if(op==1)
			T.insert(x);
		else if(op==2)
			T.del(x);
		else if(op==3)
			ans^=(lastans=T.rnk(x));
		else if(op==4)
			ans^=(lastans=T.kth(x));
		else if(op==5)	
			ans^=(lastans=T.pre(x));
		else
			ans^=(lastans=T.nxt(x));
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

::::

可持久化

就是维护多个 rt，每一次只更新有更新的节点，因为 FHQ 的优秀性质，所以维护这一点不难，具体的我可以把我的代码放出来，与原版比对就可以学会了。

::::success[参考代码]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10,M=3e7+10;
const int INF=2147483647;
default_random_engine rander;
uniform_int_distribution<int>rnd(1,(int)1e9);
struct FhqTreap{
	struct node{
		int val,sz,ls,rs,rnd;
	}a[M];
	int tot=0,rt[N];
	int Node(int val){
		++tot;
		a[tot]={val,1,0,0,rnd(rander)};
		return tot;
	}
	void pushup(int p){
		if(!p)
			return;
		a[p].sz=a[a[p].ls].sz+a[a[p].rs].sz+1;
		return;
	}
	void split(int p,int val,int &rtl,int &rtr){
		if(!p){
			rtl=rtr=0;
			return;
		}
		int np=++tot;
		a[np]=a[p];
		if(a[p].val<=val)
			rtl=np,split(a[p].rs,val,a[rtl].rs,rtr),
			pushup(rtl);
		else
			rtr=np,split(a[p].ls,val,rtl,a[rtr].ls),
			pushup(rtr);
		return ;
	}
	int merge(int u,int v){
		if(!u||!v)
			return u|v;
		int np=++tot;
		if(a[u].rnd<a[v].rnd){
			a[np]=a[u];
			a[np].rs=merge(a[np].rs,v);
		}else{
			a[np]=a[v];
			a[np].ls=merge(u,a[np].ls);
		}
		pushup(np);
		return np;
	}
	void insert(int &p,int val){
		int np=Node(val);
		if(!p){
			p=tot;
			return;
		}
		int rtl,rtr;
		split(p,val,rtl,rtr);
		p=merge(merge(rtl,np),rtr);
		return;
	}
	void del(int &p,int val){
		int rtl,rtr,rtb;
		split(p,val,rtl,rtr);
		split(rtl,val-1,rtl,rtb);
		if(rtb){
			int np=merge(a[rtb].ls,a[rtb].rs);
			p=merge(rtl,merge(np,rtr));
		}else
			p=merge(rtl,rtr);
	}
	int rnk(int p,int val){
		if(!p)
			return 0;
		if(val<a[p].val)
			return rnk(a[p].ls,val);
		else
		 	return rnk(a[p].rs,val)+a[a[p].ls].sz+1;
	}
	int kth(int p,int k){
		if(k<=a[a[p].ls].sz)
			return kth(a[p].ls,k);
		if(k==a[a[p].ls].sz+1)
			return a[p].val;
		return kth(a[p].rs,k-a[a[p].ls].sz-1);
	}
	int pre(int p,int val){
		if(!p)	
			return -INF;
		if(a[p].val<val)
			return max(a[p].val,pre(a[p].rs,val));
		return pre(a[p].ls,val);
	}
	int nxt(int p,int val){
		if(!p)	
			return INF;
		if(a[p].val>val)
			return min(a[p].val,nxt(a[p].ls,val));
		return nxt(a[p].rs,val);
	}
}T;
int n,m,a[N],lastans,ans;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	rander.seed(time(0));
	cin>>m;
	T.rt[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op,ver,x;
		cin>>ver>>op>>x;
		T.rt[i]=T.rt[ver];
		if(op==1)
			T.insert(T.rt[i],x);
		else if(op==2)
			T.del(T.rt[i],x);
		else if(op==3)
			cout<<T.rnk(T.rt[i],x-1)+1<<"\n";
		else if(op==4)
			cout<<T.kth(T.rt[i],x)<<"\n";
		else if(op==5)	
			cout<<T.pre(T.rt[i],x)<<"\n";
		else
			cout<<T.nxt(T.rt[i],x)<<"\n";
	}
	return 0;
}

::::

https://www.luogu.com.cn/article/95zmv5tt

posted @ 2026-10-12 11:58 Ivan422 阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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维护信息 \(\tt PushUp\)

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合并树 \(\tt Merge\)

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