【2】做题心得 - 2025 NOIP #21 - T1

dp 好题。

给你一个长度为 \(n(n\leq 10^6)\) 的地图，是一个扫雷，其中 ? 不知道，求合法组数。

考虑一个线性的 dp。

我们发现一个格子的状态有 *，0，1，2，但是我们发现其中有一个 1 不是很好处理，这里我们可以把它拆分成 LEFT 和 RIGHT 表示左边有雷和右边有雷。

为了表示方便，我们接下来使用一下的表示法：

单词	含义
YES	表示 \(2\)，左右都要有雷。
NO	表示 \(0\)，左右都没有雷。
LEFT	表示 \(1\)，左边有雷。
RIGHT	表示 \(1\)，左边有雷。
ME	表示 *，自己是雷。

在 dp 时我们可以把这些状态映射到一个 \(0\sim 4\) 的维度上，就像这样：

#define NO 0     // 没有炸弹，左右也没有
#define YES 1    // 左右必须是炸弹
#define ME 2     // 本身是炸弹
#define LEFT 3   // 左边有一颗炸弹，右边没有
#define RIGHT 4  // 右边有一颗炸弹，左边没有

然后我们考虑 dp 式子怎么写。注意到我们无法简单定义 \(f_{0}\) 的状态，考虑从 \(f_1\) 开始写。

下文中由于 ? 操作本质是其他所有操作的和，所以不写。

开头状态

即 \(f_1\)，注意它不能填 \(2\)，因为没有左边的格。

0

开头为 \(0\) 是可行的，\(f_{1,\tt NO}=1\)。

1

开头为 \(1\) 是可行的，但要求右边必须为雷，\(f_{1,\tt RIGHT}=1\)。

*

开头为 * 是可行的，\(f_{1,\tt ME}=1\)。

转移状态

分五类讨论。

其中涉及 ? 的操作可能存在 \(i=n\) 而不能为 \(2\) 与 \(\tt RIGHT\) 的情况，请处理边界。

0

可以由 \(f_{i-1,\tt NO}\)，\(f_{i-1,\tt LEFT}\) 转移过来，他们满足不会在 \(i-1\) 处放雷。

\(\tt LEFT\)

当然是由 \(f_{i-1,\tt ME}\) 转移啦。

\(\tt RIGHT\)

同样可以由 \(f_{i-1,\tt NO}\)，\(f_{i-1,\tt LEFT}\) 转移过来，他们满足不会在 \(i-1\) 处放雷。

2

这个要求是 \(f_{i-1,\tt ME}\)，因为必须要有雷。

*

因为这有炸弹，所以我们考虑转移 \(f_{i-1,\tt RIGHT}\)，\(f_{i-1,\tt YES}\) 是需要这个位置有炸弹的状态。或者左边也是炸弹，反正不影响，转移 \(f_{i-1,\tt ME}\)。

统计答案

最右边可以是 \(f_{n,\tt ME}\)，\(f_{n,\tt LEFT}\) 和 \(f_{n,\tt NO}\)，求和即可。

注意取模。


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define NO 0     // 没有炸弹，左右也没有
#define YES 1    // 左右必须是炸弹
#define ME 2     // 本身是炸弹
#define LEFT 3   // 左边有一颗炸弹，右边没有
#define RIGHT 4  // 右边有一颗炸弹，左边没有
const int N=1e6+10,P=1e9+7;
string s;
int n,f[N][5],ans;
int to(char ch){
	if(ch=='0')
		return NO;
	if(ch=='*')
		return ME;
	if(ch=='2')
		return YES;
	return -1;
}
signed main(){
	cin>>s;
	n=s.size();
	s=" "+s;
	s=s+" ";
	if(s[1]=='0') // 这里和左右都不能是炸弹
		f[1][NO]=1;
	if(s[1]=='1') // 开头要是 1 就只能是右是炸弹
		f[1][RIGHT]=1;
	if(s[1]=='*') // 自己是炸弹
		f[1][ME]=1;
	if(s[1]=='?') // 否则由于开头不能是 2，其他状态都标记
		f[1][NO]=1,
		f[1][ME]=1,
		f[1][RIGHT]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(s[i]=='*'){ // 固定炸弹
			f[i][ME]=(
				f[i-1][YES]+       // 左边要两颗炸弹
				f[i-1][RIGHT]+     // 左边要一颗炸弹
				f[i-1][ME]         // 左边也是炸弹
			)%P;
		}else if(s[i]=='0'){ // 左右都没有
			f[i][NO]=(
				f[i-1][LEFT]+      // 左边的左边有炸弹，不影响
				f[i-1][NO]         // 左边也不要炸弹
			)%P;
		}else if(s[i]=='1'){ // 左右有一颗
			f[i][LEFT]=(
				f[i-1][ME]         // 那左边一定要有炸弹
			)%P;
			f[i][RIGHT]=(          // 其实这个就是要求左边没有炸弹，跟 NO 是一样的
				f[i-1][LEFT]+      
				f[i-1][NO]
			)%P;
		}else if(s[i]=='2'){ // 左右都有
			f[i][YES]=(
				f[i-1][ME]         // 同理左边一定要有炸弹
			)%P;
		}else{ // 哪个都行
			f[i][ME]=(
				f[i-1][YES]+       // 左边要两颗炸弹
				f[i-1][RIGHT]+     // 左边要一颗炸弹
				f[i-1][ME]         // 左边也是炸弹
			)%P;		
			f[i][NO]=(
				f[i-1][LEFT]+      // 左边的左边有炸弹，不影响
				f[i-1][NO]         // 左边也不要炸弹
			)%P;	
			f[i][LEFT]=(
				f[i-1][ME]         // 那左边一定要有炸弹
			)%P;
			if(i<n) // 注意边界
				f[i][RIGHT]=(          // 其实这个就是要求左边没有炸弹，跟 NO 是一样的
					f[i-1][LEFT]+      
					f[i-1][NO]
				)%P;
			if(i<n) // 注意边界
				f[i][YES]=(
					f[i-1][ME]     // 同理左边一定要有炸弹
				)%P;
		}
	}
	cout<<(
		f[n][NO]+           // 可以左边不是
		f[n][LEFT]+         // 可以左边是
		f[n][ME]            // 自己是
	)%P;
	return 0;
}

---

https://www.luogu.com.cn/article/uiduae4y