【3】题解：AT_abc408_g [ABC408G] A/B < p/q < C/D

怎么说，又是一道类欧？

只不过这个东西跟我们类欧的函数不太一样，考虑类欧的思想，进行辗转相除。

是这么一个东西，原式满足不等式：

\[\frac{a}{b}<\frac{p}{q}<\frac{c}{d} \]

取倒数：

\[\frac{d}{c}<\frac{q}{p}<\frac{b}{a} \]

分离常数，设 $v=\lfloor \frac{d}{c} \rfloor $：

\[\frac{d-cv}{c}<\frac{q-vp}{p}<\frac{b-va}{a} \]

其实就是：

\[\frac{d\bmod c}{c}<\frac{q-vp}{p}<\frac{b-va}{a} \]

递归，我们发现：

\(a<b\) 且 \(c>d\) 时，满足：

\[\frac{a}{b}<1<\frac{c}{d} \]

那么取 \(p=1,q=1\)。

本质就是递归到这个状态。

然后我们可以考虑逆推，每一次都有调换。

最后输出答案 \(q\) 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int T;
void gcd(int a,int b,int &p,int &q,int c,int d){
	if(a<b&&c>d)
		p=1,q=1;
	else{
		gcd(d%c,c,q,p,b-(d/c)*a,a);
		q+=(d/c)*p;
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>T;
	while(T--){
		int a,b,c,d;
		cin>>a>>b>>c>>d;
		int p,q;
		gcd(a,b,p,q,c,d);
		cout<<q<<"\n";
	}
}

代码跟上面一样，我就不过多赘述了。

但是求答案有必要讲一下，为什么要加回来呢？

我们倒推时其实不知道 \(p\)，\(q\) 的值，只有倒推回来时才知道上一步的值，所以要加回 \(vp\)，才是原本 \(q\) 的值。

综上，此题难度是小学数学题。

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感谢管理提醒！

但是我们发现题目还给了一个限制：要让 \(q\) 最小。

由于逆推的原因，我们发现我们已经满足了 \(p\) 最小。

我们考虑证明 \(p\) 最小时 \(q\) 最小。

证明：

设已经求出的最小解为 \(\frac{p}{q}\)。

我们知道当 \(q>1\) 可满足：\(\frac{p}{q}<\frac{p}{q-1}<\frac{p+1}{q-1}\)。

若 \(\frac{p+1}{q-1}\) 且 \(q>1\) 符合原式，那么存在一个解为 \(\frac{p}{q-1}\)，那么不满足 \(\frac{p}{q}\) 为最小解。

我们注意到前提条件 \(q>1\)，但是 \(q=1\) 时满足已经最小了。

所以我们发现当 \(q\) 最小了，那么 \(p\) 就最小。

同理可得 \(p\) 最小时 \(q\) 最小，综上 \(p\) 最小时 \(q\) 最小。

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https://www.luogu.com.cn/article/nt1iu0ss