学习心得 - 数据结构 - 虚树

定义

虚树主要用于优化树形 dp。

每一次我们树形 dp 需要使用 \(k(\sum k \leq 10^5)\) 个点，设他们为关键节点。

我们的树是 \(n(\leq 10^5)\) 个点的。

每一次查询 \((\leq 10^5)\)，要是我们直接 dp，那么复杂度为 \(\mathcal O(nq)\)，会超时。

考虑像可持久化一样，只在涉及的点上修改，复杂度为 \(\mathcal O(k)\)。

虚树建立

考虑涉及到的点是哪些。

对于一般的树形 dp，我们一般需要将操作移到 \(\operatorname{LCA}\) 上。

所以，我们可以考虑求出关键点两两之间的 \(\operatorname{LCA}\)。

那么，我们的复杂度退化成了 \(\mathcal O(k^2\log_2n)\)。

怎么办？

LCA 做法

我们发现，这些关键点的 \(\operatorname{LCA}\) 很多都是重复的。

一个朴素的想法是选择两个点，将他们合并到 \(\operatorname{LCA}\) 上，然后就可以 \(\mathcal O(k\log_2n)\)。

怎么合并？

选择按照 \(dfn\) 的顺序合并，就可以求出 \(k-1\) 个 \(\operatorname{LCA}\)。

我们一般是从根节点搜，所以我们可以加一个 \(1\) 点，虚树总点数是关键加 \(\operatorname{LCA}\) 再加根一共是 \(k+k-1+1=2k\) 个。

单调栈做法

我们可以把虚树切成一些链。

按照 \(dfn\) 序，不停插入链。

要是新加入的点不是栈的栈顶，那么就取出直到组成新链。

这样就可以用 \(\mathcal O(k\log_2n)\) 的复杂度建树了。

例题 1 【SX/NOI-】P2495 [SDOI2011] 消耗战

这里直接给了你 \(k\) 个关键点要求通过切断任意边让这 \(k\) 个点与 \(1\) 不相连。

我们所需边权可以直接 dfs 求点 \(1\) 到点 \(i\) 的路径上最小边权，设为 \({\min}w_i\)。

先按照上述方法建造虚树。

然后考虑简单的 dp 就可以通过了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2.5e5+10,INF=1e18;
int n,m,minw[N],T,k[N];
int sta[N],top;
map<int,int>issp;
struct tnode{
	int dep,sz,top,id,fa,son;
}t[N];
vector<pair<int,int> >e[N],g[N];
bool cmp(int u,int v){
	return t[u].id<t[v].id;
}
int dfncnt;
void dfs1(int p,int fa){
	t[p].id=++dfncnt;
	t[p].sz=1;
	for(auto v:e[p])if(v.first!=fa){
		t[v.first].fa=p;
		t[v.first].dep=t[p].dep+1;
		minw[v.first]=min(minw[p],v.second);
		dfs1(v.first,p);
		t[p].sz+=t[v.first].sz;
		if(t[t[p].son].sz<t[v.first].sz)
			t[p].son=v.first;
	}
	return;
}
void dfs2(int p,int tp){
	t[p].top=tp;
	if(!t[p].son)
		return;
	dfs2(t[p].son,tp);
	for(auto v:e[p])if(v.first!=t[p].fa&&v.first!=t[p].son)
		dfs2(v.first,v.first);
}
int LCA(int u,int v){
	while(t[u].top!=t[v].top){
		if(t[t[u].top].dep<t[t[v].top].dep)
			swap(u,v);
		u=t[t[u].top].fa;
	}
	if(t[u].dep>t[v].dep)swap(u,v);
	return u;
}	
int dp(int u){
	if(g[u].size()==0)
		return minw[u];
	int su=0;
	for(auto v:g[u])
		su+=dp(v.first);
	g[u].clear();
	return min(minw[u],su);
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		e[u].push_back({v,w});
		e[v].push_back({u,w});
	}
	minw[1]=INF;
	dfs1(1,0),dfs2(1,1);
	cin>>m;
	while(m--){
		cin>>T;
		issp.clear();
		for(int i=1;i<=T;i++)
			cin>>k[i],issp[k[i]]=1;
		sort(k+1,k+T+1,cmp);
		top=0;
		sta[++top]=1;
		sta[++top]=k[1];
		for(int i=2;i<=T;i++){
			int lca=LCA(k[i],sta[top]);
			if(lca!=sta[top]){
				while(t[sta[top-1]].id>=t[lca].id)
					g[sta[top-1]].push_back({sta[top],0}),
					--top;
				if(sta[top]!=lca)
					g[lca].push_back({sta[top],0}),
					sta[top]=lca;
				sta[++top]=k[i];
			}else;
		}
		while(top)
			g[sta[top-1]].push_back({sta[top],0}),
			--top;
		cout<<dp(1)<<"\n";
	}
	return 0;
} 

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