复习心得 - 强连通分量

强连通分量 \(\tt SCC\)

图变为无向图可以互相到达的点集是弱连通分量。

任意两点可以互相可达的一个点集是强联通分量。

Tarjan 算法

边 dfs 边能形成 \(\tt SCC\) 就切分。

具体的：

1. 要是没有访问过，\(dfn_v=0\)，我们继续搜下去，我们要更新一个追溯值 \(low_v\to low_p\)，最早可以追溯到哪里。
2. 否则要是这个点放入了当前的 \(\tt SCC\)，那么 $ dfn_v\to low_p$，找到当前 \(\tt SCC\) 的最早追溯值。

然后我们发现可能这个点终结了这个 \(\tt SCC\)，即 \(dfn_p=low_p\)。

那么，我们从当前栈中找点，一直找到当前点 \(p\)，我们就取出了一个 \(\tt SCC\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,dfn[N],did,top,st[N],low[N],in[N],scid;
vector<int>e[N];
vector<vector<int>>scc;
void dfs(int p){
	st[++top]=p;
	++did;
	low[p]=did;
	dfn[p]=did;
	in[p]=1;
	for(auto v:e[p]){
		if(!dfn[v]){
			dfs(v);
			low[p]=min(low[p],low[v]);
		}else if(in[v])
			low[p]=min(low[p],dfn[v]);
	}
	if(low[p]==dfn[p]){
		int now;
		vector<int>ns;
		do{
			now=st[top];
			in[now]=0;
			ns.push_back(now);
			--top;
		}while(now!=p);
		sort(ns.begin(),ns.end());
		scc.push_back(ns);
	}
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		e[u].push_back(v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])
		dfs(i); 
	sort(scc.begin(),scc.end());
	for(auto sc:scc){
		for(auto v:sc)cout<<v<<" ";
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

Kosaraju 算法

这个不太多人知道的算法是这样的：

1. 首先正着 dfs 一次，搞出出栈序列。
2. 然后按照出栈序列从后往前搜，每一次要是没被搜过说明是汇点，从这个点开始搜，最后求出强联通分量。

为什么是汇点呢？我们发现最后出栈那么说明所属强连通分量已经出栈了，肯定可以作为汇点去搜出原来的强连通分量。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,vis[N],st[N],top;
vector<int>e[N],g[N],c;
vector<vector<int>>scc;
void dfs(int p){
	vis[p]=1;
	for(auto v:e[p])if(!vis[v])
		dfs(v);
	st[++top]=p;
}
void dfs2(int p){
	vis[p]=1;
	for(auto v:g[p])if(!vis[v])
		dfs2(v);
	c.push_back(p);
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		e[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i])
		dfs(i); 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		vis[i]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)if(!vis[st[i]]){
		c.clear();
		dfs2(st[i]);
		sort(c.begin(),c.end());
		scc.push_back(c);
	}
	sort(scc.begin(),scc.end());
	for(auto sc:scc){
		for(auto v:sc)cout<<v<<" ";
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

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