学习心得 - 数学 - 线性基

突然不知道为什么要学线性基。

用处

• 求一个数能不能被 \(\{a_i\}\) 异或出来。
• 求 \(\{a_i\}\) 能异或出来的第 \(k\) 大值，\(\max\) 和 \(\min\)。

我们设置这个线性基为 \(\{l_i\}\)，那么有：

• 原序列 \(\{a_i\}\) 可以通过 \(\{l_i\}\) 异或出来。
• \(\{l_i\}\) 的子集 \(\otimes_{j\in \{l_i\}}\neq 0\)。
• 这个线性基不唯一，但是数的数量最少。

插入线性基

从高到低位，要是 \(x_i=1\)，且 \(p_i=0\)，那么插入一个 \(p_i=x\)。

否则 \(p_i=1\)，\(x=x\otimes p_i\)。

为什么这是线性基呢？

证明：

1. 当没有插入 \(x_i\)，那么会不存在，或 \(x_i\otimes p_i=0\)，说明 \(\{l_i\}\) 的数可以异或出 \(x\)。符合性质 3。
2. 注意到要是 \(\otimes_{j\in \{l_i\}}=0\)，那么一定存在一个 \(l_i\) 可以被表示出来，就不会被插入了。符合性质 4。

具体代码：

void insert(ll val){
	for(int i=60;i>=0;i--)if(val&(1ll<<i)){
		if(!l[i]){
			l[i]=val,++sz;
			break;
		}else val^=l[i];
	}
}

查询是否可以被异或

按照上述性质写写即可。

不贴代码了。

查询异或最大值

直接贪心。

代码：

ll getmax(){
	ll val=0;
	for(int i=60;i>=0;i--)if((val^(1ll<<i))>val)
		val^=l[i];
	return val;
}

查询异或最小值

注意到线性基没有 \(0\)，但是答案可以为 \(0\)，特判即可。

不贴代码。

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https://www.luogu.com.cn/article/0j04g8v9