学习心得 - 动态规划 - 换根 DP

题目

求树上一个点到其他点距离之和模 \(10^9+7\)。

即设 \(\operatorname{dis}(u,v)\) 为两点距离，求 \(f_u=\sum_{v=1}^n \operatorname{dis}(u,v) \bmod 10^9+7\)。

\(1\leq n\leq 10^5\)。

举例

我们首先用一个大家都会的方法处理出 \(f_1\) 的答案。

考虑用 \(sz\) 维护一个点的子树大小。

这时就可以推出 \(f_p=\sum(sz_v +f_v)\)（子树答案全体贡献 \(+1\)）

接下来我们要试图通过 \(f_1\) 求出其他的答案。

我们先把根换做 \(2\)：

我们发现：

部分节点的贡献发生了变化！

注意到 \(-1\) 部分的是原来 \(2\) 节点的子树。

而其他的点贡献全部 \(+1\)。

那么，我们就得出：\(f_v=f_p-sz_p+(n-sz_p)\)。

化简得 \(f_v=f_p-2\times sz_p+n\)。

代码

int sz[N];
ll f[N];
vector<int>e[N];
void dfs(int p,int fa){
	sz[p]=1;
	for(auto v:e[p])if(v!=fa){
		dep[v]=dep[p]+1;
		dfs(v,p);
		(f[p]+=sz[v]+f[v])%=P;
		sz[p]+=sz[v];
	}
}
void dfs2(int p,int fa){
	for(auto v:e[p])if(v!=fa){
		f[v]=(f[p]-2*sz[v]+n)%P;
		dfs2(v,p);
	}
}

第一次求 \(f_1\)，\(sz\)，第二次求 \(f_{2\dots n}\)。

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