学习心得 - 字符串 - Manacher

更好的表述：https://www.luogu.com.cn/article/acf4low9

问题

长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，找出所有回文子串的个数 / 最长长度。

这类字符串问题，常用 Manacher 算法。

解法

字符串哈希：\(\mathcal O(n\log n)\)。

SA、快速 LCA：\(\mathcal O(n)\)。

朴素解

考虑使用中心扩展法。

每一次确定了中间的字符，然后向左右两侧扩展枚举，求出 \(len \mod 2=1\) 的回文子串。

对于中间的字符，考虑一个指针多一，就可以求出 \(len \mod 2=0\) 的回文串。

复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

改动 \(1\)

考虑在相邻字符加入 #（包括左右），左侧再加入 $，右侧 &，就可以将偶数回文串转为奇数回文串。

例子

原串 / 修改后：

a b b a
$#a#b#b#a#&

Manacher

我们定义 \(p_i\) 为 \(i\) 开始的最长回文半径。

上面的例子就是 \(p_i=\{1,1,2,1,2,5,2,1,2,1,1\}\)。

那么最长的就是 \(\max p_i-1\)。

例如 \(p_5=5\)，对应原串 #a#b#b#a#，回文长 \(p_5-1=4\)，abba。

同样易得，这个回文串的开头在 \(\lfloor\frac{i-p_i}{2}\rfloor\)。

我们的问题，转换成了如何高速求解 \(p_i\)。

Manacher 的核心思想：回文的镜像也是回文。

我们来优化朴素解：减少重复的检查。这不就是 KMP 和 AC 自动机的优化朴素解方法吗。

如图，这里显示了 Manacher 更优的原因——这样，我们在处理 \(s_j\) 的时候就可以直接用 \(s_i\) 的值，从而减少检查次数。（回文镜像原理）

但是，\(\bold{p_j>p_c}\) 时，\(\bold{p_i\neq p_j}\)，出错。

像这样的问题还有几个，所以接下来介绍实现。

算法设计

动态规划。

我们设当前要求 \(p_j\)。

令回文串最大右端点 \(r\)，它是 \(p_k\) 的右端点，\(r=k+p_k\)。

• \(j\ge r\)，\(p_j=1\)，然后暴力扩展，因为无法更新。
• \(\bold{j<r}\)，
  • 镜像 \(j(i)\) 不超过 \(r\)，\(p_j=p_i=p_{2k-j}\)。（回文镜像原理）
  • 镜像 \(j(i)\) 不被 \(k\) 包含，则限制失效，\(p_j=w=r-j=k+p_k-j\)，只能暴力扩展。

情况可以一起处理，\(p_j\) 取最小值。

例题就模板，复杂度 \(\mathcal O(n)\)，太 6 了。

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参考资料：Manacher，算法竞赛。

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https://www.luogu.com.cn/article/3eow4uzs