哈茨霍恩怎样写出了名著《代数几何》

哈茨霍恩(Robin Hartshorne)是著名的代数几何学家，他在上个世纪的70年代写了一本关于现代代数几何的英文经典教材《代数几何》（Algebraic Geometry），该书在1977年作为著名的GTM（研究生数学课本）丛书中的第52卷，由Springer-Verlag出版社出版。1994年，科学出版社出版了《代数几何》的中译本，而在1999年，世界图书出版公司北京公司影印了该书英文版在1997年的第八次修订本。

 

 

图1：哈茨霍恩写的《代数几何》

 

 

代数几何最早起源于在17和18世纪的牛顿和贝祖（É. Bezout）等人关于平面代数曲线的研究工作。到了19世纪上半叶射影几何登场后，才出现了关于曲线和曲面的初步的代数几何理论。然后黎曼在研究阿贝尔积分理论的过程中，提出了内蕴的黎曼面概念和代数函数的理论。在这之后，代数几何的分析学派、几何学派、代数学派和意大利学派分别用他们自己的语言，进一步发展了这门不同寻常的数学学科。

 

 

在20世纪的中叶，在整体微分几何、多复变函数论、抽象代数、以及拓扑学得到了充分发展的基础上，格罗腾迪克（A. Grothendieck）运用更精确的代数与拓扑工具，以及更先进的几何思想，将经典的代数簇理论推广成适用面更广的概形理论，从而为现代代数几何提供了一个极其完美的基础理论体系，并由此促进了现代数学的大发展。

 

 

然而在上世纪的60-70年代，人们一般都是通过学习格罗腾迪克在1960-1967年间写的8卷《代数几何学原理》(即著名的EGA)，来掌握概形理论的。对于初学者们的学习来说，读EGA是非常困难的，它篇幅巨大，完全缺乏思想动机的介绍，并且所表述的概形理论可以说是极端的一般与抽象。

 

 

在1977年，哈茨霍恩写出了一本极好的研究生教材《代数几何》，来系统地介绍概形理论，它基本上可以看成是EGA的一个浓缩简写本。这本《代数几何》帮助了许多数学家和青年学子，使他们学会了概形理论，并由此走上了研究代数几何的道路。本文描述了哈茨霍恩在写作这部名著时的一些背景情况和有点曲折的写作过程。

 

 

一、哈茨霍恩研究代数几何的经历

 

 

在上世纪的60年代，哈茨霍恩在由扎里斯基(O. Zariski)所领导的美国哈佛代数几何学派的数学家中，属于比较年轻的一员。代数几何学家扎里斯基在1947年就来到哈佛大学数学系任教，他每星期都要举办代数几何讨论班，在培养了许多研究生的同时，也让哈佛大学成为了当时的代数几何的世界研究中心。在扎里斯基最得意的学生中，就有广中平佑(H. Hironaka)、芒福德(D. Mumford)、阿廷(M. Artin)和哈茨霍恩等人。

 

 

图2：哈佛大学的校门

 

 

哈佛大学位于美国东北地区沿海城市波士顿的北面，虽然它大名鼎鼎，但其实是一个小型大学，不大的校园里分布着一些三层的老式楼房。在哈佛大学的研究岁月里，扎里斯基一直在努力寻找能够准确表达意大利学派的古典代数几何成果的数学工具。他发现塞尔(J. Serre)在代数几何中所引入的层论及其上同调的理论，十分符合他的需要。许多代数几何的著名定理，可以很容易地运用层论及其上同调理论得到证明。扎里斯基曾经专门写过一篇文章来对此加以介绍。而当格罗滕迪克创立了比塞尔的理论更进一步的概形理论时，扎里斯基立即邀请格罗滕迪克来哈佛大学讲学，给研究生们系统地介绍概形理论，而这些研究生们不负众望，后来都成为了能够运用概形理论来解决重大数学问题的著名数学家。

 

 

对于哈茨霍恩来说，他很快就接受了这个十分抽象的概形理论，这与其所受教育的经历有关。哈茨霍恩在1959年本科毕业于哈佛大学数学系，然后用了整整一年的时间，去法国巴黎参加了H. 嘉当（H. Cartan）和塞尔等人举办的布尔巴基讨论班，学习崭新的层论及其上同调的理论，这其中就包含了环层空间的理论。在讨论班上，哈茨霍恩第一次见到了格罗滕迪克，他被塞尔和格罗滕迪克非常一般的代数几何抽象方法所深深吸引。哈茨霍恩在学习这些新方法的时候，就比较注意将它们运用到解决经典的代数几何问题中。

 

 

1961年，格罗滕迪克来到了哈佛大学做访问学者，他开出了一系列代数几何的讨论班。哈茨霍恩参加了这些讨论班，直接受到格罗滕迪克的悉心指导。格罗滕迪克回法国以后，哈茨霍恩用格罗滕迪克留下的一份关于对偶理论的手稿，开出了自己的讨论班，并且于1966年写出了研究专著《Residues and Duality（剩余与对偶）》。四年以后，哈茨霍恩又发表了另一本比较重要的研究专著《Ample Subvarieties of Algebraic Varieties（代数簇的丰富子簇）》，其中所提出的著名的哈茨霍恩猜想，间接地引导了后来的日本代数几何学家森重文（S. Mori）在解决3维代数簇的分类问题的时候，取得了重大突破。

 

 

图3：1969年的哈茨霍恩

 

 

二、代数几何课程的教学过程及《代数几何》的总体结构

 

 

数学名著的产生一般都有前期教学方面的积累，以及进一步整理和反复修改讲稿的过程，哈茨霍恩写作《代数几何》的过程也正是这样的。在1972年，哈茨霍恩来到了美国西部著名的加州伯克利大学数学系任教，在接下来的三年里，他在研究代数几何的同时，开始讲授代数几何方面的系列课程。哈茨霍恩惊讶地发现，在这里没有一个人懂代数几何，于是他只能从最基本的经典代数簇理论开始讲起，讲完以后，再接着讲代数曲线和代数曲面的一般理论。此外哈茨霍恩还讲授了比较深入的概形及上同调理论的课程。

 

 

哈茨霍恩一边讲课，一边开始整理自己曾经在哈佛大学和巴黎学习时所记的笔记，同时写下自己所讲的这些课程的讲稿。此时哈茨霍恩已经决定，要编写一本适合研究生来学习的教材《代数几何》，关于它的内容，哈茨霍恩后来在《代数几何》的前言里是这样说的：“我试图介绍对于代数几何基础课程来说是最本质的那些材料。我希望能使外行人容易理解数学的这一领域，它的结果至今还分散在各处，只是用未发表的‘民间传说’将这些材料连接起来。”

 

 

但是，“任何人若想写一本关于代数几何的引论性著作，都会面临一个艰难的任务：它既要提供几何的洞察力和例子，同时又要阐明这一学科的现代专用术语。这是因为在代数几何中，构成起点的直观思想和当前研究中采用的专门方法之间有一条鸿沟。”（见哈茨霍恩在《代数几何》中所写的引论）

 

 

哈茨霍恩克服这个写作困境的主要方法是，采用沿着代数几何发展的历史途径方法来讲，也就是从比较直观的经典代数簇（特别是低维的代数曲线和代数曲面）出发，先讲最基本的经典代数几何，然后再由浅入深地慢慢进入到抽象的概形世界，而不是一上来就讲作为逻辑基础的概形理论（例如像EGA那样）。他说：

 

 

“

“代数几何的最重要问题都是从仿射空间或射影空间古老形式的代数簇产生出来的，它们提供了几何上的直觉性，由此启发了所有进一步的发展。在本书中我开始先用一章谈代数簇，给出许多例子，并抛开技术性的细节，以最简单的形式叙述一些基本思想。在这以后我才在第二章和第三章中系统地采用概形、凝聚层和上同调语言，这两章构成本书的技术核心。”

”

 

 

概形理论讲完以后，在“第四章和第五章讲述经典的内容，即非奇异射影曲线和曲面，但是采用概形和上同调技巧。我希望这些应用会使人感到为了吸收前两章的全部专业内容而作出的努力是值得的。”（见哈茨霍恩在《代数几何》中写的引论）

 

 

哈茨霍恩所给出的这个讲课顺序，体现了一个比较完美的逻辑体系，它分三个阶段来完成。第一阶段是讲经典代数簇的基本理论（第一章），第二阶段是讲概形（第二章）和上同调（第三章）的基本理论，第三阶段是讲代数曲线（第四章）和代数曲面（第五章）的一般理论。

 

 

然而哈茨霍恩实际写作《代数几何》的顺序，并不是如我们所想象的那样，从第一章开始，一路往下写到第五章，而是先写第一、第三、第四和第五章，最后才写了第二章。

 

 

三、第一章“代数簇”的内容

 

 

本章所设计的经典代数几何教学内容的安排，是哈茨霍恩在《代数几何》一书中所给出的第一个比较大的教学独创，其出发点是为了第二章讲概形理论作准备。具体来说，讲仿射簇是为后面讲仿射概形，而讲射影簇则是为了后面讲由分次环S所确定的重要概形Proj S作准备。在第一章中，作者还以习题的形式给出了代数簇的大量例子，它们可以帮助读者很好地理解全书中所讲的代数几何的各个基本概念。后来出版的许多代数几何入门教材，都在不同程度上参考了第一章对于经典代数几何的讲法。

 

 

在第一章的开头，作者首先从代数集（一组多元多项式的公共零点集）出发，导入了扎里斯基拓扑。因为代数集在任意交和有限并的运算下是封闭的，所以代数集的补集就形成了扎里斯基拓扑中的开集，这也就是说，代数集是这个拓扑中的闭子集。所谓仿射簇，就是不可约闭子集（不是另外的两个比较小的代数集的并集），而射影簇则是射影空间里的代数集。仿射簇与射影簇合起来统称为代数簇。

 

 

态射是两个代数簇之间满足一定条件的连续映射，这种映射是代数几何这门学科里最基本的一种映射。在这里，哈茨霍恩给出了第二个比较大的教学独创：关于代数簇态射的正则函数引入方法，即用代数簇上的正则函数来定义两个代数簇之间的连续映射。这种引入的讲法可以很自然地过渡到后面讲概形之间的态射概念。后来的人们在讲授代数簇的态射理论时，都普遍采用了哈茨霍恩的这种讲法。

 

 

对于经典代数几何来说，双有理映射是一种很重要的映射，它可以用来对代数簇进行分类。简单地说，双有理映射其实就是一种具有逆的态射。双有理映射的一个典型例子是胀开（browing up）。

 

 

作者在这里还介绍了由扎里斯基引入的内在地刻画非奇异代数簇的局部环方法，即证明了仿射簇上的一点是非奇异点的充分必要条件是：在该点的局部环是正则局部环。非奇异代数簇的一个特殊情形是常见的非奇异代数曲线，其中就包含了在数论中十分重要的椭圆曲线。

 

 

第一章的结尾比较紧凑地给出了射影空间里的相交理论，这个理论是对古典的贝祖定理的极大推广。相交理论中最基本的概念是相交重数和希尔伯特多项式。

 

 

四、第三章“上同调”的内容

 

 

哈茨霍恩在第三章的开头，先简要介绍了与导出函子相关的同调代数基本知识，然后用导出函子来定义诺特仿射概形的上同调函子与层的上同调群，并证明了它们的基本性质。在这里，作者还写了一个比较详细的历史注记，说明了层的上同调群的来龙去脉，以帮助读者理解上同调。

 

 

接下来，哈茨霍恩进一步给出了诺特分离概形上层的Čech上同调群，并证明了它与导出函子上同调群是一致的（即同构）。这样，我们就可以运用Čech上同调来具体地计算概形的上同调群了。作者详细地计算了最常用的射影空间上扭层的上同调群。

 

 

第三章的另一个重点是讲著名的塞尔对偶定理，为此要先讲Ext群和Ext层。在这个比较长的章的后半部分，哈茨霍恩主要讨论了概形族，其中就用到了来自于微分几何中纤维丛概念的思想方法。研究概形族是走向研究形变理论和模空间理论的第一步。

 

 

五、第四章“曲线”的内容

 

 

在本章的开头，哈茨霍恩运用塞尔对偶定理，简洁明快地证明了十分重要的代数曲线的黎曼-罗赫定理，并给出了它的一些应用。然后作者通过运用了Hurwitz定理，来研究代数曲线之间的态射。接着作者讨论了代数曲线在射影空间中的嵌入这个很基本的问题，其中就证明了任意的代数曲线都可以嵌入到3维的射影空间中。

 

 

在第四章的第4节，哈茨霍恩对最重要的一类代数曲线——椭圆曲线，给出了一个很精彩的介绍，其中通过对j- 不变量、群结构、Jacobi簇、椭圆函数、Hasse不变量等内容的仔细讲解，呈现了椭圆曲线所具有的极好的代数、分析、几何、数论与拓扑方面的性质。

 

 

第四章的最后两节讨论了代数曲线的分类问题，以及简单介绍了代数曲线的模空间概念。

 

 

六、第五章“曲面”的内容

 

 

本章主要通过运用前面所讲的概形工具，来讲述关于非奇异射影代数曲面的基本理论。哈茨霍恩首先证明了最基本的代数曲面的黎曼-罗赫定理，然后重点阐述了关于直纹面和3维射影空间里的三次代数曲面的非常丰富的几何性质，以及关于代数曲面之间的双有理变换（特别是独异变换）的基本理论。在第五章的结尾，作者还简要介绍了一些关于代数曲面分类的最基本成果。

 

 

七、哈茨霍恩的日本京都之旅

 

 

在哈茨霍恩写作《代数几何》的过程中，他在日本京都大学做访问学者的经历起到了一个很关键的推动作用。因为广中平佑的关系，日本这个国家从1969年开始进入了哈茨霍恩的视野。广中平佑是日本人，毕业于著名的京都大学，是他建议哈茨霍恩在那一年去印度作学术访问的路上，顺便绕道日本，与日本的代数几何学家们进行交流。从这时候开始，哈茨霍恩就经常地访问日本。

 

 

在20世纪的50年代，京都大学的代数几何学家秋月康夫就已经组织了代数几何讨论班，从中培养出了另一位代数几何学家永田雅宜（M. Nagata）。永田雅宜的重要贡献是在1956年，将经典的域上的代数几何推广到了戴德金整环上的代数几何，并且完善了关于局部环的基本理论。永田雅宜在1962年还写出了一部经典著作《Local Rings(局部环)》，这部著作为现代代数几何的诞生，做了一部分代数方面的准备工作。在这段时期内，许多重要的代数几何学家都曾经来到京都大学，进行访问和交流，例如有韦伊(A. Weil)、塞尔和扎里斯基等人。

 

 

在1975年的秋天，哈茨霍恩获得了在京都大学做访问学者的机会，为期6个月。这是哈茨霍恩第三次来到日本，他打算除了进行交流讲学外，还要充分利用这段比较集中的时间，来完成《代数几何》的写作，也就是要写完最难写的第二章“概形”，因为这个时候，其他的四章内容都已经基本上写好了。

 

 

图4：远眺日本富士山

 

 

和美国的幅员辽阔相比，日本看上去就是一个很小的国家，它的面积只相当于美国的一个州这么大，而且基本上都是山区。这个东方国家的一个主要特点是比较注意学习西方先进的文化和科学技术，同时又保存了不少古代文明的传统与习俗。京都虽然是世界闻名的日本古都，但它实际上只是一个很朴素的小城市，四周围都是山。从位于城市南部的车站出来，朝东北方向只要步行半个多小时，就可以来到位于该城东部的京都大学。名列日本第二的数学研究中心——京都大学的数理解析研究所，其实只位于一幢旧式的楼房里。

 

 

图5：京都大学的校门

 

 

哈茨霍恩在京都大学的这6个月里，基本上每天都要去数理解析研究所，在他自己的办公室里进行写作。到了该年12月底圣诞节和元旦临近放假的时候（日本和西方一样在元旦的时候过新年），办公室所在楼房的管理员通知哈茨霍恩，整个楼要封闭两周，这样一来他有两周时间就不能来办公室继续工作了。面临此时第二章“概形”写作的很关键的时间节点，哈茨霍恩感到工作是不能停顿的，于是他便要求管理员给他办公室的钥匙自己来开门，管理员严厉警告他：“必须对这栋楼负责！”而后就将钥匙给了哈茨霍恩。在年末这个十分寒冷的季节里，因为封闭期间暖气已经关掉了，因此哈茨霍恩每天都要带上自己的睡袋和秋衣来到办公室，以便在写作的时候能够将睡袋套在身上来进行保暖。

 

 

八、第二章“概形”的内容

 

 

在第二章的开头，哈茨霍恩首先要介绍了层论的基本知识，因为这对概形理论来说是必不可少的。层论最早起源于复变函数论中的解析开拓，它的基本思想是通过收集代数簇或概形上各点处的各种局部函数信息，来得到整体的几何与拓扑信息，为此需要运用来源于代数拓扑的同调代数方法（例如正合序列方法）。

 

 

然后就到了正式引入概形的时候了。为什么“概形”这部分十分难写呢？这是因为概形这个概念实在是太抽象了，简单来说，要从一个任意的交换环出发，凭空构造出来一个拓扑空间，以及它上面的所有函数。概形这个概念虽然是从经典的代数簇概念发展而来，但是它与代数簇概念的反差太大了，因此从第一章的“代数簇”，到第二章的“概形”，这一步的障碍其实是很难跨过去的。

 

 

概形上的点的概念，是对通常拓扑空间中点的概念的极大扩展。现代代数几何中“点”的含义远比整体微分几何中的微分流形上“点”的含义要广。概形中的点可以简单地看成是由某个交换环的全体素理想所组成的，这些素理想中的极大理想对应了通常拓扑空间意义上的点，而其余的素理想则对应了概形中新产生的“点”。可以说这种对于点的概念的扩展，是对20世纪上半叶形成的“现代数学是建立在集合论基础之上”观念的重大突破，因此在现代代数几何中，除了要运用集合论外，还要运用关于范畴与函子的基本理论。

 

 

面对这么复杂的概形概念，许多专家的建议是：要通过一些具体而典型的例子来理解概形的概念。哈茨霍恩在第二章的正文和习题中，就给出了不少具体的例子，来帮助读者更好地理解概形的概念。

 

 

在《代数几何》第二章的写作过程中，哈茨霍恩还给出了第三个比较大的教学独创，即将诺特概形（而不是一般的概形）来作为《代数几何》最基本的学习对象，这样就大大减轻了初学者们的学习负担。诺特概形的名称来源于代数学家诺特（E. Noether），她在20世纪的20年代建立了关于诺特环的基本理论。诺特环是一种重要的交换环，其中每一个理想都是有限生成的。而诺特概形可以简单地说成是：由某个诺特环的全体素理想所组成的拓扑空间。哈茨霍恩在《代数几何》的引论里这样说道：

 

 

“

“在这里我试图放进所有最重要的结果，但并不竭力追求其最一般化的叙述。例如，我们只对诺特概形的拟凝聚层讲述上同调理论，因为这较为简单，并且对多数应用来说这已经够了。”

”

 

 

在某种程度上，概形的概念就是对微分流形概念的一种抽象推广。为此必须将通常拓扑空间的Hausdorff分离公理和逆紧性概念，推广到概形上，这样就形成了分离态射和本征态射的基本概念。

 

 

当然对概形来说，最常用的层是由模来组成的模层，特别是性质非常好的拟凝聚层和凝聚层（例如仿射概形拟凝聚层的高阶上同调群一定全部为零），其中就包括了很重要的扭层。

 

 

除子是代数几何特有的一个基本概念，它是研究代数簇和概形的内蕴几何的重要工具。哈茨霍恩在讲解除子时，从人们比较熟悉的平面射影代数曲线的线性系入手，引出了诺特概形上韦伊除子和主除子的定义，并且推导出了除子的基本性质。接下来，作者进一步给出了任意概形的Cartier除子的概念和性质，以及它与可逆层的密切联系。

 

 

概形上的微分层可以看成是对微分流形上的微分形式的推广，由此出发就能够得到刻画非奇异代数簇双有理几何性质的几何亏格概念，这个概念也是微分流形的亏格概念的推广。

 

 

九、关于附录、学习《代数几何》的准备工作及中译本

 

 

在写作《代数几何》之前的一年，哈茨霍恩还曾经主编过一本关于现代代数几何的研究论文集《Algebraic Geometry , Arcata , 1974》，这是1974年在美国加州Arcata举办的代数几何学术会议的会议论文集，其中的文章大多都是专家们写的综述文章。因此哈茨霍恩是非常了解当时的代数几何各个发展方向的研究现状的。哈茨霍恩原来打算为《代数几何》写一系列的附录，来介绍代数几何各个研究方向的发展，但是在经过了反复斟酌后，哈茨霍恩只为《代数几何》写了三个很有价值的附录。第一个附录“相交理论”主要介绍高维代数簇的黎曼-罗赫定理。在第二个附录“超越方法”中，哈茨霍恩对复代数几何这个方向作了一个很好的介绍，特别是说明了概形理论与复几何的关系。第三个附录“韦伊猜想”更是显示了概形理论与现代数论的紧密联系。

 

 

胥鸣伟老师在他刚出版的《代数几何讲义》（高等教育出版社，2021年）一书的前言中，这样谈到了哈茨霍恩的《代数几何》：“迄今它仍是代数几何基础方面的经典教材，但也是不容易读懂的一本书，”“要理解它则要求有较为成熟的数学修养，对交换代数和同调代数有较好的掌握，最好有复几何或者代数数论的背景，”“此书的不少读者告诉我，读了几遍依旧不甚了了。”其实更多的情形是读到一半放弃的。出现这种情况，可能是这些读者在读哈茨霍恩的《代数几何》之前，没有准备好交换代数和同调代数的基础知识，以及没有注意要经常地将书中一般的抽象理论，运用到具体的几何例子当中。

 

 

关于交换代数对于代数几何的重要作用，哈茨霍恩在《代数几何》第一章的末尾，曾经这样说道：“有些事情对于代数簇永远成立，但是对概形可能不再正确。例如即使环为诺特环，仿射概形的维数也不一定有限。因此必须要精通交换代数知识以便支持我们的直觉。”代数几何学家D. Eisenbud曾经写过一本很受欢迎的交换代数教材《Commutative Algebra : with a View Toward Algebraic Geometry（适用于代数几何的交换代数）》（2010年世界图书出版公司北京公司影印了该书英文版）。Eisenbud在前言中说，该书提供了学习哈茨霍恩的《代数几何》所需要的全部交换代数与同调代数的预备知识，并证明了其中引用的所有交换代数和同调代数定理。事实上，该书有将近四分之一的篇幅在讲代数几何中的同调代数基础知识。

 

 

不仅如此，Eisenbud在该书末尾的第7个附录中，还推荐了他与J. Harris一起编写的另一本教材《The Geometry of Schemes（概形的几何）》（2010年世界图书出版公司北京公司影印了该书英文版），来作为在学习哈茨霍恩的《代数几何》之前的预备读物。在这本书中，作者详细地给出了概形的许多例子，来说明各种抽象概念和理论的内在意义。特别是对概形概念的引入，讲解得非常仔细。这本《The Geometry of Schemes》从读者熟悉的“在代数封闭域K上的仿射簇的坐标环是K上有限生成的既约代数”这一命题出发，通过一步步放松条件，也就是依次放松“finitely generated（有限生成）”、“reduced algebras（既约代数）”、“over a field（在一个域上）”、“algebraically closed（代数封闭）”这四个条件，最终将这个“K上有限生成的既约代数”放松到了任意的交换环，从而让读者体会到概形概念是怎么产生的，并且还用具体的例子来详细说明这个逐步放松条件的过程，让读者理解概形这个概念的真正内涵。这样的讲解实际上遵循了数学思想的历史发展途径，当然是十分精彩的，也是初学者们非常需要的。

 

 

关于将抽象理论与具体例子的结合方面，哈茨霍恩在《代数几何》的前言中，曾经建议讲代数几何课程的教师这样来进行教学：“讲完第一章之后立即讲第四章，只需要知道第二章和第三章的少数定义，并且承认关于曲线的黎曼-罗赫定理即可。这使我们可很快学到有趣的材料，而且回过头来再认真学习第二章和第三章的时候，有了更多的直观背景。”实际上笔者认为，哈茨霍恩的这个针对第四章的建议同样也适用于第五章。在学习前面的概形理论的过程中，可以经常翻阅第四章和第五章，思考那些一般的抽象理论在具体的低维代数簇场合中的含义究竟是什么。

 

 

此外，在胥鸣伟老师所写的《代数几何讲义》里，也有一些关于概形理论中各个概念的思想动机方面的介绍，并且对哈茨霍恩的《代数几何》作了很详细的解说，这样的中文新书对于读者来说自然是十分珍贵的。

 

 

还有一个问题是关于哈茨霍恩《代数几何》的中译本的。在1994年，科学出版社出版了由冯克勤老师、刘木兰老师、胥鸣伟老师一起精心翻译的《代数几何》的中译本，这是非常难得的，这个中译本非常有利于现代代数几何在中国的传播。但是由于翻译的年代较早，当时有些初创的专业术语翻译和现在通用的术语不一样了，它们需要重新修订。例如全书通篇最基本的“概型”一词，就是指今天所说的概形（不能不说“概形”这个翻译远比前者要好，因为它强调了这个概念的几何特性）。有个别术语的翻译还不统一，例如将morphism一词有时候译为“态射”，有时候译为“射”。

 

 

另一方面，在代数几何这门学科中，所使用的数学符号是极其复杂的（可能是数学书中符号最复杂的学科），这个中译本免不了还有一些数学符号排版上的小错，例如个别应该大写的字母被排版成了小写字母，应该花写的字母被排成了一般字母等。还有该译本的文字排版没有按照当今数学书排版的国际惯例来做：即在所有不同的定义、定理、推论、证明、习题之间，都要空出半行的间隔来，以减少数学阅读的疲劳感。现在市面上销售的《代数几何》中译本新书，都是用1994年中译本最早的旧纸型来印刷的，因此印刷的质量还比较低，淘宝上就有读者评论说“感觉就是正版扫描以后打印出来的”。在这里我们热切地希望：科学出版社能够重新排版（同时根据英文版在1997年的第八次修订本来重新修订）这个中译本。

 

 

十、《代数几何》的后续影响

 

 

冯克勤老师在上世纪90年代介绍当时的代数几何发展时，曾经这样说过：

 

 

“

“代数几何与代数数论均源于同一个古老的数学问题：求（多变量）代数方程（组）的解。区别只是：古典代数几何考虑实数域上的解，而古典数论是研究在函数环或有理数域上的解。这个区别是非常根本的，它使得以意大利学派为代表的古典代数几何与高斯、欧拉等人创造的数论呈现出迥然不同的风格和面貌。上世纪后半叶，几何与数论几乎同时进入代数化阶段，在共同的基石——交换代数之上，成长为近代的代数几何与代数数论。通过100年来众多杰出数学家的努力，和其他数学领域（代数拓扑、群表示论、调和分析、微分几何、微分方程）的相互交织与渗透，形成了极为抽象的庞大数学构架，又进入了现代代数几何与代数数论阶段。现代代数几何的标志是格罗滕迪克（A. Grothendieck）几千页巨著《代数几何学原理》（EGA）与《代数几何论丛》（SGA），现代代数数论的标志是韦伊（A. Weil）的《Basic Number Theory（基本数论）》一书和朗兰兹（R. Langlands）纲领。人们曾对这种构架上是否能建成有用的楼房持怀疑态度，也对数学大厦的这种建筑方式有不同看法，一直到两项获菲尔茨奖工作的出现，才使许多人的看法发生了转变，一项是德利涅（A. Deligne）用格罗滕迪克整套理论证明了高维的韦依猜想，另一项是德林费尔德（V. Drinfel’d）用现在称之为德林费尔德模理论证明了函数域上二维局部朗兰兹猜想。进入80年代，熟悉格罗滕迪克和朗兰兹理论的年轻人骤然增多，这些理论逐渐成为从事现代代数几何与代数数论研究的共同语言，在欧美和日本的一些主要大学，这些语言已成为研究生必修课。”（见《21世纪初科学发展趋势》，科学出版社1996年）

”

 

 

实际上，冯克勤老师这里所说的上世纪80年代熟悉格罗滕迪克理论的年轻人“骤然增多”的现象，就与《代数几何》在1977年的出版发行有一定的关系。通过研读哈茨霍恩写的《代数几何》（以及芒福德写的另一本内容较少的《The Red Book of Varieties and Schemes（代数簇与概形的红皮书）》），世界各国的数学家和青年学子们比较快地掌握了十分抽象的概形理论，并且将这个概形理论运用到了一些重要数学问题的研究中。也许我们可以这样说，如果没有哈茨霍恩的《代数几何》，就不会有上世纪80年代现代代数几何在世界范围内的迅速普及，而这种普及无疑是促进了20世纪末代数几何研究的大发展。

 

 

虽然现在已经有了不少关于概形理论的现代代数几何的教材，但是一个不争的事实是：哈茨霍恩所写的《代数几何》目前仍然是最畅销的代数几何教科书，许多数学专著与教材都将其作为代数几何最基本的参考书。