数学相关教材介绍
数学分析
数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计 15 学分 270 学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。
记住以下几点
- 对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。
- 学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。
- 别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。
- 看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。
- 课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。
- 开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。
- 经常回头看看自己走过的路。
以上几点请在学其他课程时参考。
数学分析书
初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐 11，推荐 1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的 16，20。
中国人自己写的
- 《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）。
- 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。
- 《数学分析》华东师范大学数学系著
- 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。
- 《数学分析》陈纪修等著
- 以上三本是考研用的最多的三本书。
- 《数学分析》李成章，黄玉民
- 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。
- 《数学分析讲义》刘玉链
- 数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。
- 《数学分析》曹之江等著
- 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向 n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。
- 《数学分析新讲》张筑生
- 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。
- 《数学分析教程》常庚哲，史济怀著
- 中国科学技术大学教材，课后习题极难。
- 《数学分析》徐森林著
- 与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。
- 《数学分析简明教程》邓东翱著
- 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。
- 《数学分析教程》许绍浦著
- 南京大学出版社这些书应该够了，其他书不一一列举。从中选择一本当作课本就可以了。
外国数学分析教材
- 《微积分学教程》菲赫金格尔茨著
- 数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。买书不建议看价格，而要看书好不好。一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。
- 《数学分析原理》菲赫金格尔茨著
- 上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
- 《数学分析》卓立奇
- 观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
- 《数学分析简明教程》辛钦
- 课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。
- 《数学分析讲义》阿黑波夫等著
- 莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。
- 《数学分析八讲》辛钦
- 大师就是大师，强烈推荐。
- 《数学分析原理》rudin
- 中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。不过这本美国的书还是值得一看的。写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。
- 《微积分与分析引论》库朗
- 又一本美国的经典数学分析书。有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
- 《流形上的微积分》斯皮瓦克
- 分析的进一步。中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
- 《在南开大学的演讲》陈省身
- 从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
- 华罗庚《高等数学引论》科学出版社
数学分析习题集
不做题就如同没有学过一样。希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
- 《吉米多维奇数学分析习题集》
- 最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。但这本习题集不再被广泛使用的原因是那本习题解答的出现，学生对答案的抄袭使这部书失去了价值。如果你不看答案的话它依然是数学分析第一习题集。不要没有做过就盲目的批评。 有 .没有做过自己心里知道，并会影响自己今后的学习。
- 《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等
- 两本书一样的，再版换了名字。第一版网上有电子版，第二版可以买纸版。和 3 成一套。
- 《数学分析习题集》林源渠，方企勤等
- 由于《吉米多维奇数学分析习题集》答案的出现使这本书得到的评价变高了，原因是这本书没有答案。只能自己做。
- 《数学分析习题精解》科学出版社版，还有裴礼文或者钱吉林的书
- 过考试不错，要学数学分析不提倡。
解析几何
解析几何有被代数吃掉的趋势，不过就数学系的学生而言，还是应该好好学一下，我大一没有好好学，后来学别的课时总感觉哪里有些不太对劲，后来才发现是自己的数学功底尤其是几何得功底没有打好。
- 吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社
- 写的简单明了，我基础没有打好，快速翻了一下这本书收获还是不少的。不过打基础的时候还是从下面三本选一本看，把这本当参考书。
- 《解析几何》丘维声，北京大学出版社我大一时的课本
- 《解析几何》吕根林，许子道
- 《解析几何》尤承业
2，3，4 写的大同小异习题集有巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》不过不是那么容易找的到了代数前面说过代数有吃掉几何的倾向，所以有许多与时俱进的《代数与几何》。不过还是建议分开学，一门一门的打好基础。许多所谓的简明教程，还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。不建议使用。
高等代数
- 《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组
- 目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材，有着悠久的传统。目前通常使用的是第三版。也是各大学的考研指定用书。这本书更多以教师为主，给了教师以很大的发挥空间，受到教师的普遍欢迎。不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。讲到了所有应该讲的内容。
- 《高等代数》张禾瑞，郝鈵新
- 被各个师范大学的数学系广泛使用，和 1 同分天下。张禾瑞已经去世，但书已经出到第五版。
- 《线性代数》李烔生，中国科学技术大学出版社
- 中科大的书一向比较难。
- 《线性空间引论》叶明训，武汉大学出版社
- 《高等代数学》张贤科，清华大学出版社
- 《线性代数与矩阵论》许以超，高等教育出版社
- 以上三本是一份书单上写的，拿了过来，不过我知道 5 还是不错的
- 《代数学引论》柯斯特利金
- 一本和菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》齐名的伟大数学著作。一本传世经典，没有什么可多说的。最近刚刚有新译本出版，共分了三册，但都不是很厚，也不贵。
- 《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫
- 《高等代数习题集》法捷耶夫，索明斯基
- 8，9 是前苏联的经典代数习题集分别有两千道和一千道题，做完会打下非常好的基本功。
- 《高等代数》丘维声著
- 书写的不错，不过是北京大学数学系用书，北京大学的教学内容和重点一贯与国内其他大学的不太一样，而且邱维声采用了与其他教材完全不同的编排方式，所以用这本书研也许有一些不适应。建议用来作参考书而不是教材。
- 《高等代数习题集》杨子胥著
- 相对 8，9 很容易买到，很多人用来做考研的参考书，而且符合所谓的教学或考研大纲。
- 《线性代数》蒋尔雄，高锟敏，吴景琨
- 著名为线性代数，实际上是一本高等代数教材。是一本非常老的为当时计算数学专业编写的书。 市面上根本找不到，但各大学的藏书中肯定会有。
近世代数
近世代数不光是数学系最重要的几门课，而且在计算机方面有很多应用，通常的离散数学第二部分就是近世代数内容，也叫抽象代数。
- 《近世代数引论》冯克勤
- 《近世代数》熊全淹
- 《代数学》莫宗坚
- 《代数学引论》聂灵沼
- 《近世代数》盛德成
- 分析的后继课程有常微分方程,偏微分方程，实变函数，复变函数，泛函分析。
常微分方程
- 《常微分方程教程》丁同仁、李承治，高等教育出版社
- 公认的国内写的最好的教材。
- 《常微分方程》王高雄等
- 使用相当广泛的教材。初学建议从 1，2 中选
- 《常微分方程》V.I.Arnold
- 常微分不可不读的书。
- 《常微分方程》庞特里亚金
- 前苏联教材，作者是数学奇才，因为化学实验的一次事故导致双目失明，不得已转而学数学，成为一代数学大师。
- 《常微分方程习题集》菲利波夫
- 很简单，打通这本书。不是题目简单，是对你的要求简单。
复变函数
- 《简明复分析》龚昇
- 写的非常有特色的一本书。
- 《Complex Analysis 》L.V.Ahlfors
- 学数学还是提倡多看大师的著作
- 《复变函数》余家荣
- 《复变函数》钟玉泉上面
- 两本是国内数学系用的最多的书，不过通常会剩下一到两章讲不完。
- 《解析函数论初步》H.嘉当
- 《应用复分析》任尧福
- 《复变函数论习题集》沃尔科维斯
实变函数
- 《实变函数与泛函分析概要》郑维行
- 很好的入门书。
- 《实变函数论》周民强
- 普遍认为是一本非常好的书，不过个人认为对基础不是很好的人来说比较难懂。写法和其他几本不太一样。
- 《实变函数》江泽坚，吴志泉
- 我初学时用的书，和 2 相比我更愿意用这本和 4
- 《实变函数与泛函分析》夏道行，伍卓人，严绍宗，舒五昌
- 上世纪八十年代中国大学数学系的标准课本，2009 年 3 月会出新版。强烈推荐这本和上一本。虽然厚，但是相当详细。
- 《实变函数论的定理与习题》鄂强
- 《实变函数论习题集》捷利亚科夫斯基
- 和分析一样要多做题。
泛函分析
- 《泛函分析讲义》张恭庆
- 个人感觉写的比较混乱，不过各个大学数学系都在用。
- 《实变函数与泛函分析》夏道行
- 上面说过，再推荐一次，虽然有点厚。
- 《实变函数与泛函分析概要》郑维行
- 《泛函分析习题集》安托涅维奇
- 《函数论与泛函分析初步》柯尔莫哥洛夫
- 好好看完会有收获。大师的经典名著，包括了实变函数，泛函分析，变分等各方面的内容
- 《泛函分析理论习题解答》克里洛夫
偏微分方程
- 《偏微分方程》陈祖墀
- 《广义函数与数学物理方程》齐民友
- 《数学物理方程讲义》姜礼尚
- 《数学物理方程》谷超豪，李大潜等
- 《偏微分方程教程》华中师范大学
- 《数学物理方程习题集》弗拉基米洛夫
- 谷超豪，李大潜的书是用的时间相当长的一本老教材，5 添加了一些新内容，将一阶方程的解法也加了进来。
- 《数学物理方法》梁昆淼。
- 数学物理方法是非数学专业的课相当于数学系的偏微分方程和复变函数
- 《数学物理方程》柯朗
- 学物理的人趁着年轻还是好好打一打基础。
- 《特殊函数概论》王竹溪中国人写的书里面足以自豪的一本，王老先生是杨振宁的老师。
概率论
分三部分内容：概率论，数理统计和随机过程
概率论
- 《概率论基础》李贤平
- 《概率论引论》汪仁官
- 《概率论与数理统计》(上、下)，中山大学数学力学系编
- 概率论学起来很容易，但是题做起来就不是那么一回事了。
数理统计
- 《数理统计学教程》陈希孺
- 《数理统计学讲义》陈家鼎
- 《数理统计基础》陆璇
- 《数理统计习题集》中国科学技术大学统计与金融系
- 《数理统计》赵选民
随机过程
- 《随机过程及应用》陆大金
- 《随机过程》孙洪祥
- 《随机过程论》钱敏平，龚鲁光
- 很多学校没有随机过程，但这部分还是相当重要的，无论工科还是经济或者数学本身。
微分几何
- 《微分几何》彭家贵
- 《微分几何》陈省身
- 《微分几何讲义》吴大任
- 《微分几何》陈维垣
- 《微分几何习题集》菲金科
- 《微分几何理论与习题》里普希茨
拓扑学
- 《点集拓扑讲义（第二版）》熊金城
- 《拓扑空间论》儿玉之宏
- 《基础拓扑学》M.A.Armstrong
- 《点集拓扑学》《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜
- 《几何学与拓扑学习题集》巴兹列夫
- 再说一次，忽视几何,包括解析几何，微分几何，拓扑学会后悔的。
数学基础
- 《数学基础》汪芳庭
- 《数学概观》戈丁刚开始学时翻一翻会知道数学什么。
- 《什么是数学》克朗，罗宾一代名著。
离散数学
- 《基础集合论》北师大
- 《面向计算机科学的数理逻辑》陆钟万
- 《图论及其算法》王树禾
- 《图论及其应用》Bondy ，Murty
- 《离散数学》耿素云，屈婉玲
- 《具体数学》格拉厄姆，高德纳等有英文版与中文版
数值分析
计算数学方向传统的科目是数值逼近，数值代数，数值优化，微分方程数值解法。 数值逼近，数值代数，微分方程数值解法合称数值分析，数值优化和运筹学有点像。 传统的教材是下面四本（不算 1）：全部由人民教育出版社出版
- 蒋尔雄，高坤敏，吴景坤的《线性代数》
- 李岳生，黄友谦的《数值逼近》
- 曹志浩，张德玉，李瑞遐的《矩阵计算和方程求根》
- 王德人的《非线性方程组解法与最优化方法》
- 李荣华，冯果忱的《微分方程数值解法》
- 《数值分析方法》奚梅成
- 《数值计算方法》林成森
- 《数值逼近》王仁宏
- 《矩阵数值分析》邢志栋
- 《最优化理论与算法》陈宝林
- 要求不高的话可以只看一本《数值分析》就够用了，一些大学似乎就是这么干的，只讲数值分析一门，将剩下的时间用来讲计算机的内容。
- 《数值分析》李庆扬，王能超，易大义
- 似乎是不错的选择，应用数学专业好像都是用这本。
- 《数值分析基础》李庆扬，王能超，易大义
- 《数值逼近》蒋尔雄，赵风光
- 《微分方程数值解法》余德浩，汤华中
- 《微分方程数值解法》李立康，於崇华，朱政华
- 看一个学校的计算数学是真的计算数学还是所谓的信息与计算，只要看一下上不上微分方程数值解就行了。
- 《数值优化》袁亚湘，孙文瑜书名
- 好像不是这个，看作者
- 《数值分析引论》，易大义
信息论
- 《信息论基础》叶中行
- 专门为数学系写的信息论
- 《信息论，编码与密码学》Ranjan Bose
来源：https://github.com/yuerYDP/Math_learning_group/blob/master/recommended_textbooks.md
史怀济《数学分析》学习笔记
《数学分析》，史怀济，中国科学大学，视频：共220讲，B站视频链接
因为此文件包含大量的公式，如果：
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第一章 实数和数列极限
1.1 实数
问题1.1
1. 非负整数 $a$, $b$ 使得 $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$为整数，求证这个整数必是某一个整数的平方。
方法一（反证法、韦达跳跃）：
令 $$ k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} $$
- 假设存在一个或更多不是完全平方数的解 $k$ 。
- 对特定 $k$ ，$(x, y) = (A,B)$ 是方程 $x^2 + y^2 - mxy = 0$ 正整数解对。
- 由于 $x^2 + y^2 - mxy - m = 0$ 是关于 x,y 对称的方程，先设 $A \ge B$。
- 再设原整数方程关于 $A$ 的二次方程，即为：$x^2 + b_1^2 - kBx- m = 0$，$x = A$ 是其中一个正整数根。利用韦达定理，可将另一根表示成$x_2 = kB - A$或是$x_2 = \frac{B^2 – k}{A}$。
- 从 $x_2$的第一个表示式可得$x_2$为整数，第二个表示式可得$x_2 \neq 0$，因为$k$不是完全平方数。进一步，从$\frac{x_2^2 + b^2}{x_2B+1}=k>0$可得$x_2$为正整数。
- 最后，从$A>B$可推出$x_2=\frac{B^2-k}{A}<A$，所以$x_2 + B < A + B$，与$A + B$为最小矛盾。
方法二（无穷递降法）：
令 $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$
- 当 $a = b$时，
- $k = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = (2 - k)a^2 > 0$，即： $2 - k > 0, k \in (0, 2)$，因为$k$是整数，那么 $k = 1$
- 当 $a \neq b$，设 $a > b$，则
- $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} > \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1$
- 根据题目条件，得到$a^2 - bka + b^2 - k = 0$, 且该方程必有正整数根 $a$。设另一根为 $a_1$。得到
- $a^2 - bka + b^2 - k = 0, \tag{1}$
- $a_1^2 - bka_1 + b^2 - k = 0, \tag{2}$
- $(1), (2)$两式相减及相加（其实这是韦达定理），可以得到
- $a + a_1 = bk, \tag{3}$
- $b^2 - k = a a_1, \tag{4}$
- 根据题目定义，$b, k$ 是整数，所以 $a_1$是整数。
- 接着证明 $a_1$ 的正负性：
- 设 $a_1 \leq -1$, 则 $(a_1^2 + b^2) = k(a_1b + 1) \leq k(-b + 1) \leq 0$ 不成立，所以 $a_1 \ge 0$。
- 所以 $0 \leq a_1 = \frac{b^2 - k}{a} < \frac{b^2}{a} < b < a$
- 如果 $a_1 = 0$，那么$k$为平方数，所以只用讨论 $0 < a_1 < b < a$的情况
- 对 $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$重复上面的推理，可知存在整数$b_1$满足 $b > a_1 > b_1 \ge 0$，使得 $k = \frac{a_1^2 + b_1^2}{a_1b_1 + 1}$
- 这样回到了原来的情况，不过这时有 $a > b > a_1 > b_1$
- 上述过程可以无限循环，最后必然有一个 $a_i = 0$ 或 $b_i = 0$。不论任何情况，$k$都是一个平方数。
问题1.2
2.若$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$，证明Tchebycheff不等式： $$ \sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i \leq n\sum_{i=1}^n a_i b_i $$
证明：
由排序不等式可知，最大的和为顺序和：$a_1b_1+ \cdots + a_nb_n$
因此有：
- $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n = a_1b_1+ a_2b_2+ \cdots + a_nb_n$
- $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n \ge a_1b_2 + a_2b_3 + \cdots + a_nb_1$
- $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n = a_1b_3 + a_2b_4 + \cdots + a_nb_2$
- $\vdots$
- $a_1b_1+ a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \ge a_1b_n + a_2b_1 + \cdots + a_nb_{n-1}$
将这$n$个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：
$n(a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n) \ge (a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n)(b_1 + b_2+ \cdots + b_n)$ 两边同时处于$n$，即证明了命题。
1.2 数列和收敛数列
例四里用到 几何平均-算术平均不等式:
$$ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$
1.3 收敛数列的性质
练习题 1.3 第3、4、5题
1.4 数列极限的推广
练习题 1.4 第3题
1.5 单调数列
练习题 1.5 第1题
1.6 自然对数的底 e
对于
$$ e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$
是单调递增数列，并且有上界。
证明用到二项式定理有： $$ e_n = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} $$
自然对数 $e$ : $$ e = \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right) $$ 练习题 1.6 第2题
1.7 基本列和Cauchy收敛原理
基本列的定义：设${a_n}$是一列实数列。对任意给定的$\epsilon>0$，若存在$N\in N^$，使得当$m, n\in N^$且$m,n>N$时，有 $|a_m-a_n|<\epsilon$
数列收敛的充分必要条件是，数列是基本列。
引理：从任一数列中必可取出一个单调子列。
定理 Bolzano-Weierstrass定理：从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列。
定理：一个数列收敛的充分必要条件是它是基本列。
1.8上确界和下确界
定义1.8.1：设$E$为一非空的有上界的集合，实数$\beta$满足一下两个条件：
- 对任何$x \in E$，有$x \leq \beta$；
- 对任意给定的$\epsilon >0$，必可找到一个$x_\epsilon \in E$，使得$x_\epsilon > \beta - \epsilon$
这时，称$\beta$为集合$E$的上确界，记作$\beta = \mathbb{sup} E$。
定义1.8.2：设$E$为一非空的有上界的集合，实数$\alpha$满足一下两个条件：
- 对任何$x \in E$，有$x \geq \alpha$；
- 对任意给定的$\epsilon >0$，必可找到一个$y\epsilon \in E$，使得$x\epsilon < \alpha + \epsilon$
这时，称$\alpha$为集合$E$的下确界，记作$\alpha = \mathbb{inf} E$。
定理1.8.1：非空的有上界的集合必有上确界；非空的有下界的集合必有下确界。
1.9 有限覆盖定理
定义1.9.1：如果$A$是实数集，$\mathscr{J}=\left{I_{\lambda}\right}$是一个开区间族，其中$\lambda \in \Lambda$，这里的$\Lambda$称为指标集。如果 $$ A \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} I_{\lambda} $$ 称开区间族${ I_\lambda }$是$A$的一个开覆盖，或者说${I_\lambda}$盖住了$A$。
$\mathscr{J}=\left{I_{\lambda}\right}$是$A$开覆盖也可以等价叙述为：任取 $a \in A$，总有$\mathscr{J}$中的一个成员，记为$I_{\lambda(a)}$，使得$a \in I_{\lambda(a)}$。
定理1.9.1（紧致性定理）：设$[a, b]$是一个有限闭区间，并且它有一个开覆盖${ I_\lambda }$，那么从这个开区间族中必可选取有限个成员（开区间）来，这有限个开区间所成的族任事$[a, b]$的开覆盖。也称为有限覆盖定理、Heine-Borel定理。
1.10 上极限和下极限
定义1.10.1：设${a_n}$是一个数列，$E$是由${a_n}$的全部极限点构成的集合。记 $$ a^{\space*}=\sup E, \quad a_{\space*}=\inf E $$ $a^{\space*}, a_{\space*}$分别称为数列${a_n}$的上极限和下极限，记为 $$ \limsup {n \rightarrow \infty} a{n}, \quad \liminf {n \rightarrow \infty} a{n} $$ 定理1.10.1：设${a_n}$是一个数列，$E$和$a^*$的定义同前，那么：
- $a^* \in E$；
- 若$x > a^$，则存在$N \in N^$，使得当$n \geq N$时，有$a_n < x$；
- $a^*$是满足前两条性质的唯一数。
定理1.10.2：设${a_n}$，${b_n}$是两个数列：
- $\liminf {n \rightarrow \infty} a{n} \leq\limsup {n \rightarrow \infty} a{n}$；
- $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$当且仅当$\liminf {n \rightarrow \infty} a{n} = \limsup {n \rightarrow \infty} a{n} = a$；
- 若$N$是某个正整数，当$n>N$时，$a_n \leq b_n$，那么
<p>$$ \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n}, \quad \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} $$</p>
定理1.10.3：对于数列${a_n}$，定义$\alpha_n=\inf_{k\geq n}a_k$, $\beta_n = \sup_{k \geq n} a_k$，那么：
- ${\alpha_n}$是递增数列，${\beta_n}$是递减数列；
- $\lim_{n\rightarrow \infty}\alpha_n = a_$, $\lim_{n\rightarrow \infty}\beta_n = a^$。
1.11 Stolz定理
定理1.11.1 $\left(Stolz, \frac{\infty}{\infty}型\right)$：设${b_n}$是严格递增且趋于$+\infty$的数列。如果 $$ \lim {x \rightarrow \infty} \frac{a{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A $$ 那么 $$ \lim {n \rightarrow \infty} \frac{a{n}}{b_{n}}=A $$ 其中$A$可以是$+\infty$或者$-\infty$。
第二章 函数的连续性
2.1 集合的映射
定义 2.1.1：设$A, B$s是两个集合，如果$f$是一种规律，使得对$A$中的每一个元素$x$，$B$中唯一确定的元素——记作$f(x)$——与$x$对应，则称$f$是一个$A$到$B$的映射，用 $$ f: A \rightarrow B $$ 来表示。集合$A$叫作映射$f$的定义域；$f(x) \in B$叫作$x$在映射$f$之下的像或$f$在$x$的值。
定义2.1.2：相等：设$f: A \rightarrow B$，且$g: A \rightarrow B$。如果对任何$x \in A$，均有$f(x) = g(x)$，则称映射$f$与$g$相等，记为$f=g$。
定义2.1.3：满射：设$f: A \rightarrow B$，如果$f(a)=B$，则称$f$是从$A$到$B$上的满射，也就是说，$B$中的任何元素都是$A$中某一元素在$f$之下的像。
定义2.1.4：单射：设$f: A \rightarrow B$，如果当$x, y \in A$，且$x \neq y$时，有$f(x) \neq f(y)$，则称$f$为单射。
定义2.1.5：一对一：设$f: A \rightarrow B$，既是单射又是满射，则称映射$f$是一对一的，这时，也说$f$在集合$A$与$B$之间建立一个一一对应。
逆映射：$f^{-1} : B \rightarrow A$，其规律是：如果$y=f(x)$，则$f^{-1}(y)=x$。
定义2.1.6：设$f : A \rightarrow B, f \subset B$，则$A$的子集 $$ f^{-1}(F) = {x \in A: f(x) \in F} $$ 叫做$F$的原像。
定义2.1.7：设映射$f : B \rightarrow C$，映射$g$的定义域为$A$。当$x \in A_1=g^{-1}(B)$时，定义映射 $$ f \circ g(x) = f(g(x)) $$ 显然，$f \circ g : A_1 \rightarrow C$，称为映射$f$和$g$的复合。
$f^2 = f \circ f, f^3 = f \circ f \circ f, \cdots, f^n = f^{n-1} \circ f$
2.2 集合的势
设$A$与$B$两个集合，如果存在一个从$A$到$B$的一对一映射，称集合$A$与$B$有相同的“势”或有相同的“基数”，称$A$与$B$等价。用$A \sim B$表示。这种关系具有以下性质：
- 自反性：$A \sim A$
- 对成性：$A \sim B$且$B \sim A$
- 传递性：若$A \sim B$且$B \sim C$，则$A \sim C$
定义2.2.1：令$N^*$为正整数的全体，且 $N_{n}={1,2, \cdots, n}$.
- 有限集：如果存在一个正整数$n$，使得集合$A \sim N_{n}$，那么$A$叫做有限集。
- 无限集：如果集合$A$不是有限集，则称$A$为无限集。
- 可数集：若$A \sim N_{n}$，则称$A$为可数集。
- 不可数集：若$A$既不是有限集，也不是可数集，则称$A$为不可数集。
- 至多可数：若$A$是有限集或者$A$是可数集，则称$A$是至多可数的。
定理2.2.1：可数集$A$的每一个无限子集是可数集。
定理2.2.3：$\mathbb{R}$中的全体有理数是可数的。
定理2.2.4：$[0, 1]$上的全体实数是不可数的。
2.3 函数
函数是一类特殊的映射，如果对映射$f: X \rightarrow Y$，$X$与$Y$都是由实数组成，则$f$称为一个函数。
分段函数：由多个公式联合起来表示的函数
函数的和：设$f$和$g$是两个函数，定义域分别为$A$和$B$，那么在$A \cap B$上，$f+g$称作$f$与$g$的和，写作： $$ (f+g)(x)=f(x)+g(x), x \in A \cap B $$ 类似的，可以定义$f$与$g$的差、积、商： $$ \begin{array}{c}{(f-g)(x)=f(x)-g(x)} \ {\quad(f g)(x)=f(x) g(x)} \ {\quad\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}\end{array} $$ 反函数：设函数$f$在$X$与$Y$之间建立了一个一一对应，那么有逆映射$f^{-1}: Y \rightarrow X$，称$f^{-1}$为$f$的反函数。
定义2.3.1：递增（递减）函数：对于函数$f : X \rightarrow Y$，如果对于任何$x_1, x_2 \in X$，只要 $x_1 < x_2$，便有$f(x_1) \leq f(x_2) （f(x_1) \geq f(x_2)）$。严格（递减）函数：对于函数$f : X \rightarrow Y$，如果对于任何$x_1, x_2 \in X$，只要 $x_1 < x_2$，便有$f(x_1) < f(x_2) （f(x_1) > f(x_2)）$。
定义2.3.1（严格）单调函数：在$X$上的（严格）递增或（严格）递减函数。
定理2.3.1：设函数$f$在其定义域$X$上是严格递增（递减）的，那么反函数$f^{-1}$必存在，$f^{-1}$的定义域为$f(X)$，$f^{-1}$在这一集合上也是严格递增（递减）的。
练习题 2.3
2、反证法：如果$f$没有不动点，那么$f \circ f$也没有不动点；如果$f$有多个不动点，那么$f \circ f$也有多个不动点。
3、反证法：假设存在$f(a) = d, f(d) = a, d \neq b$，那么$d$也是不动点，与题目矛盾
4、（1）$f(x) = x, f(x) = -x$ （2）$f(x) = x$
7、以任何正数为周期，那么对于任意$l$有$f(x + l) = f(x)$
8、（1）$\sin()$的周期是 $2 \pi$，如果$\sin x^2$是周期函数，存在$l$使得$(x+l)^2=x^2+2n\pi$对所有的$x$取值成立。唯一的解是 $l=0$。
（2）
2.4 函数的极限
定义2.4.1 函数极限：设函数$f$在点$x_0$的附近有定义，但$x_0$这一点自身可以是例外。设$l$是一个实数，如果对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta >0$，使得对一切满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$的$x$，均有 $$ |f(x)-l|<\epsilon $$ 则称当$x$趋于点$x_0$时函数$f$有极限$l$，记作 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=l $$ 或 $$ f(x) \rightarrow l \quad (x \rightarrow x_0) $$ 定理2.4.2（函数极限的唯一性）：若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$存在，则它是唯一的。
定理2.4.3：若$f$在$x_0$处有极限，那么$f$在$x_0$的一个近旁是有界的。也就是，存在整数$M, \delta$，使得当$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$时，$ f(x)|<M$。
定理2.4.4：$\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)$与$\lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$都存在时，那么有：
- $\lim {x \rightarrow x{0}}(f \pm g)(x)=\lim {x \rightarrow x{0}} f(x) \pm \lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$
- $\lim {x \rightarrow x{0}}fg(x)=\lim {x \rightarrow x{0}} f(x) \cdot \lim {x \rightarrow x{0}} g(x)$
- $\lim {x \rightarrow x{0}}\frac{f}{g}(x)=\frac{\lim {x \rightarrow x{0}} f(x)}{\lim {x \rightarrow x{0}} g(x)}$，其中$\lim {x \rightarrow x{0}} g(x) \neq 0$
定理2.4.5：设函数$f, g$与$h$在点$x_0$的近旁（点$x_0$自身可能是例外）满足不等式 $$ f(x) \leq h(x) \leq g(x) $$ 如果$f, g$在点$x_0$有相同的极限$l$，那么$h$点$x_0$也有极限$l$。
定理2.4.6：设存在$r>0$，使得当$0<|x-x_0|<r$时，不等式$f(x)\leq g(x)$成立，又设在$x_0$出这两个函数都有极限，那么 $$ \lim_{x \rightarrow x_0}f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0}g(x) $$ 定理2.4.7：函数$f$在$x_0$有极限，必须且只需对任意给定的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$x_1, x_2 \in B_\delta(\hat x_0)$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
定理2.4.8：设$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l, \lim_{x \rightarrow t_0}g(t)=x_0$，如果在$t_0$的某个领域$B_{\eta}(t_0)$内$g(t) \neq x_0$，那么 $$ \lim_{t \rightarrow t_0} f(g(t))=l $$ 定义2.4.2：设函数$f$在$(x_0, x_0+r)$上有定义。设$l$是一个给定的实数，若对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta \in (0, r)$，使得$0 < x-x_0 < \delta$时，有 $$ |f(x) - l| < \epsilon $$ 则称$l$为$f$在$x_0$处的右极限，表示为 $$ l=\lim_{x \rightarrow x^+_0}f(x) $$ 右极限通常记作$f(x_0+)$，类似地，可以定义$f$在$x_0$处的左极限$f(x_0-)$。
定理2.4.9：设函数$f$在$x_0$的某个领域内（$x_0$可能是例外）有定义，那么$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充分必要条件是 $$ f(x_0+) = f(x_0-) $$ 例子： $$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
练习题
11、（3）$x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1=m$
（4）同理，$m/n$
（5）$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}$
（7）
（8）$=\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{x^2-1}{x-1}+\cdots+\frac{x^m-1}{x-1}\right)=1+2+\cdots+m=\frac{(1+m)m}{2}$
2.5 极限过程的其他形式
定义2.5.1：设$l$是一确定实数，表达式 $$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=l $$ 的意思是，对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个正数$A$，当$x$满足$|x|>A$时，有$|f(x)-l|<\epsilon$。这时，我们说“当x趋向于无穷时，函数$f$有极限$l$”。
定义2.5.2：对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个正数$A>0$，使得当$x<-A$时，有 $$ |f(x) - l| < \epsilon $$
在这种情况下，我们说“在负无穷处函数$f$有极限$l$”，记作 $$ f(-\infty) = \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l $$ 定理2.5.1：$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=l$ 当且仅当 $$ f(-\infty) = \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l, f(+\infty) = \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l $$ 同时成立。
2.6 无穷小与无穷大
定义2.6.1：设$x_0$是一个实数，函数$f(x)$在$x_0$的一个近旁（可能除$x_0$之外）有定义。如果对任意给定的正数A，存在$\delta>0$，使得$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|>A$，则称“当x趋向于$x_0$时，函数$f$趋向于**无穷大**”，记作 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty, $$ 或者 $$ f(x)\rightarrow\infty \quad (x\rightarrow x_0) $$
类似的，如果$\lim f(x)=0$，则称“在该过程中，$f$是一个**无穷小（量）**”。
定义2.6.2：设当$x\rightarrow x_0$时，$f$与$g$都是无穷小，并且$g$在$x_0$的一个充分小的近旁（除$x_0$外）不取零值。
（1）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$f$是比$g$更高阶的无穷小；
（2）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$，那么称$f$是和$g$同阶的无穷小；
（3）如果（2）中的极限值$l=1$，那么称$f$与$g$石等阶的无穷小，记作$f \sim g \quad (x \rightarrow x_0)$。
类似的，如果$f, g$都是无穷大：
（1）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$g$是比$f$更高阶的无穷大；
（2）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$，那么称$f$是和$g$同阶的无穷大；
定理2.6.1：如果当$x\rightarrow x_0$（$x_0$可以是$\pm \infty$）时，$f,g$等价的无穷小或无穷大时，那么：
（1）$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)h(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)f(x)$
（1）$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)}{h(x)}$
定义2.6.3：设函数$f,g$在$x_0$的近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x)\neq 0$：
（1）当$x\rightarrow x_0$时，若比值$f(x)/g(x)$保持有界，即存在正常数$M$，使得$|f(x)|\leq M|g(x)|$成立，就用$f(x)=O(g(x))(x\rightarrow x_0)$来表示；
（2）当$x\rightarrow x_0$时，若比值$f(x)/g(x)$是一个无穷小，即$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，就用$f(x)=o(g(x))(x\rightarrow x_0)$表示。
2.7 连续函数
定义2.7.1：设$f:[a,b]\rightarrow R$，我们称函数$f$在点$x_0\in (a,b)$连续，如果 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$ 也就是说，对任意给定的$\epsilon >0$，存在一个适当的$\delta >0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有 $$ |f(x) - f(x_0)|<\epsilon $$
存在处处不连续的函数（如Dirichlet函数），也存在只在一点连续的函数。
定义2.7.2：如果$f(x_0+)=f(x_0)$，则函数在$x_0$处右连续，如果$f(x_0-)=f(x_0)$，则函数左连续。
定理2.7.1：如果函数$f$与$g$在$x_0$处连续，那么$f\pm g$与$fg$在$x_0$处连续，进一步，若$g(x_0)\neq 0$，则$f/g$也在$x_0$处连续。
定理2.7.2：如果函数$g$在$t_0$处连续，记作$g(t_0)$为$x_0$，如果函数$f$在$x_0$处连续，那么复合函数$f \circ g$在$t_0$处连续。
定义2.7.3：设I是一个开区间，例如$(a, b), (a, +\infty), (-\infty, b), (-\infty, +\infty)$。如果函数$f$在$I$上的每一点都连续，则称$f$在$I$上连续，是指$f$在$(a,b)$上连续，并且在$a$点处右连续，同时在$b$点处左连续。人们也称$f$是$I$上的**连续函数**。不论区间$I$是开区间或闭区间，有限或无穷的，用$C(I)$记$I$上连续函数的全体。
定理2.7.3：设$f$是在区间$I$上严格递增（减）的连续函数，那么$f^{-1}$是$f(I)$上的严格递增（减）函数。
初等函数：多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及经过它们有限次的四则运算、有限次复合所形成的函数，统称初等函数。
定理2.7.4：初等函数在它们各自的定义域上都是连续的。
设$x_0$是函数$f$定义域中的一点，如果$f$在$x_0$连续，则称$x_0$为f的**连续点，否则为间断点**。
定义2.7.4：设$x_0$是函数$f$的间断点：
- 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$存在，且是有限的数，但$f(x_0+) \neq f(x_0-)$，那么$x_0$为$f$的一个**跳跃点。差值$|f(x_0+) - f(x_0-)|>0$称为$f$在这一点的跳跃**。
- 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$存在且有限，并且$f(x_0+) = f(x_0-)$但是不等于$f(x_0)$，则称$x_0$为$f$可去间断点。
- 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$中至少有一个不存在或者不是有限的数，那么$x_0$叫做$f$的**第二类间断点**。
- 跳跃点和可去间断点统称为$f$的**第一类间断点**。
定理2.7.5：设$f$是区间$(a, b)$上的递增（减）函数，则$f$的间断点一定是跳跃点，而且跳跃点集是至多可数的。
2.8 连续函数与极限计算
如果函数$f$在$x_0$处连续，那么 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$ 函数$f$在$x_0$处连续的事实可以表示为 $$ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(\lim_{x\rightarrow x_0}x) $$ 极限的计算：
- $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x}=\lim_{y\rightarrow \infty}(1+1/y)^y=e$
幂指函数：$u(x)^{v(x)}\quad (u(x)>0)$
- 当$u, v$时连续函数时，幂指函数也是连续函数。
2.9 函数的连续性
定义2.9.1：如果对任意给定的$\epsilon>0$，总是存在一个$\delta>0$，使得当$x_1, x_2 \in I$且$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\delta$，则称函数$f$在区间$I$上是**一致连续**的。
不是一致连续：当且仅当存在一个$\epsilon_0 > 0$，对每一个$n\in N^*$，都可以在$I$中找到两个点，记为$s_n$和$t_n$，使得虽然有$|s_n-t_n|<1/n$，但是 $$ |f(s_n)-f(t_n)\geq \epsilon_0. $$
2.10 有限闭区间上连续函数的性质
定理2.10.1：设函数$f$在$[a, b]$上连续，那么$f$在$[a, b]$上一致连续。（注意，此区间必须是有界的）
定理2.10.2：有界闭区间上的连续函数必在该区间上有界。
定理2.10.3：设$f$在$[a, b]$上连续，记 $$ M=\sup_{x\in [a, b]}f(x), \quad m = \inf_{x\in [a, b]}f(x), $$ 则必存在$x^, x_ \in [a, b]$，使得 $$ f(x^)=M, \quad f(x_) = m. $$ 定理2.10.4（零值定理）：设$f$在$[a, b]$上连续，如果$f(a)f(b)<0$，则必存在一点$c\in (a, b)$，使得$f(c)=0$。
定理2.10.5（介值定理）：设$f$是在$[a, b]$上非常值的连续函数，$\gamma$是介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何实数，则必存在$c \in (a, b)$，使得$f(c) = \gamma$。
推论2.10.1：设非常数值函数$f$在$I=[a, b]$上连续，那么$f$的值域$f(I)$是一个闭区间。
2.11 函数的上极限和下极限
定义2.11.1：令$E={l \in R_{\infty}:存在数列x_n\in B_{\delta}(\tilde{x}), x_n \rightarrow x_0, 使得f(x_n)\rightarrow l}$
这是一个非空集合，设$a^=\sup E, a_=\inf E$，分别称它们为 $f$当$x \rightarrow x_0$时的上极限和下极限，分别记作 $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x), \quad \lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x). $$ 定理2.11.1：设函数$f$定义在$I$上，那么：
- $a^{*} \in E$；
- 若$y > a^*$，则存在$\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$时，$f(x) < y$；
- $a^*$是满足前述条件性质唯一的数。
定理2.11.2：设$f, g$在$I$上有定义，那么：
- $\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x)$；
- $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$, 当且仅当$\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x) = a$；
- 若当$x \in I$时，$f(x) \leq g(x)$成立，则
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \inf g(x), \quad \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \sup g(x) $$
2.12 混沌现象
自然界中，许多现象，是有严格的因果关系所支配的。例如月亮的阴晴圆缺、四季的更迭、日食和月食的发生……对这一类完全由因果关系支配的系统进行一般研究，自然有重大意义。这种完全由因果关系所制约的系统，通常叫做**决定性系统。研究决定性系统的数学分支称为动力系统理论**。
设$I$是任意一个区间，函数$f: I \rightarrow I$。将$f$反复地复合，产生$f^2(x) = f \circ f(x)$，一般地，$f^n(x) = f \circ f^{n-1}(x) (n \geq 3)$。规定$f^0(x) = x$，即表示恒等映射；$f^1(x) = f(x)$。称$f^n$为$f$的**第n次迭代**。
对任意固定的$x \in I$，考虑序列 $$ x, f(x), f^2(x), \cdots, f^n(x), \cdots. $$ 如果正整数$m$使得$f^m(x) = x$，乘$m$为点$x$的一个周期，称$x$为$f$的一个周期点。
那么$m$的任何正整数倍一定也是$x$的一个周期。
对于上述序列叫做点$x$的$n$周期轨。
定义2.12.1：设$f$施区间$I$到自身的连续映射，$f$满足下列条件：
(1). f的周期点的最小周期没有上界； (2). 存在I的不可数子集S，满足： (a) 对任何$x, y \in S, x \neq y$，有 $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\sup |f^n(x) - f^n(y)| > 0; $$ (b) 对任何$x, y \in S$，有 $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\inf |f^n(x) - f^n(y)| = 0; $$ 这时称$f$描述的系统为混沌系统。
第三章 函数的导数
3.1 导数的定义
定义 3.1.1（可导的定义）：设函数$f$在点$x_0$的近旁有定义，如果极限 $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 存在且有限，则称这个极限值为$f$在点$x_0$的导数，记作$f'(x_0)$，并称函数$f$在点$x_0$可导。
定义 3.1.2（左右导数定义）：设函数$f$在点$x_0$的右边$[x_0, x_0+r]$上有定义。若极限 $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 存在且有限，则称此极限为$f$在点$x_0$的右导数，记作$f'+(x_0)$。类似地，可定义$f$在点$x_0$的左导数$f'-(x_0)$。
函数$f$在点$x_0$可导的充分必要条件是，在点$x_0$左、右导数存在且相等。
定理 3.1.1（可导与连续）：若函数$f$在点$x_0$可导，则$f$必在点$x_0$连续。
定义 3.1.3（在区间可导）：如果函数$f$在开区间$(a, b)$中每一点可导，则称$f$在$(a, b)$可导；如果$f$在$(a, b)$可导，并且在点$a$处有右导数，在点$b$处有左导数，则称$f$在闭区间$[a, b]$可导。
3.2 导数的计算
定理 3.2.1（求导的四则运算）：设函数$f$和$g$在点$x$处可导，则$f \pm g$, $fg$也在点$x$处可导；如果$g(x) \neq 0$，那么函数$f/g$也在点$x$处可导。具体为：
- (1) $(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)$
- (2) $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
- (3) $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
定理 3.2.2（链式法则）：设函数$\phi$在点$t_0$处可导，函数$f$在点$x_0 = \phi(t_0)$处可导，那么复合函数$f \circ \phi$在点$t_0$处可导，并且 $$ (f \circ \phi)'(t_0) = f'(\phi(t_0)) \phi'(t_0) $$ 上述法则可以推广到三个或更多组合的复合函数。
定理 3.2.3（反函数的导数）：设$y = f(x)$在包含$x_0$的区间$I$上连续且严格单调。如果它在$x_0$处可导，且$f'(x_0) \neq 0$，那么它的反函数$x = f^{-1}(y)$在$y_0 = f(x_0)$处可导，并且 $$ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} $$ 导数的几何意义：函数$f$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，可以看成平面曲线$y=f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
常见的求导公式： $$ c' = 0 \ (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1} \ (e^x)' = e^x \ (a^x)' = a^x\ln a \ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \ (\ln x)' = \frac{1}{x} \ (\sin x)' = \cos x \ (\cos x)' = -\sin x \ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x} \ (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2x} \ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \ (\text{arccot }x)' = -\frac{1}{1+x^2} $$
3.3 高阶导数
设函数$f$在区间$I$上可导，那么$f'(x)(x \in I)$在$I$上定义了一个函数$f'$，称之为$f$的导函数。
如果$f'$在$I$上可导，那么$f'$的导函数$(f')'$记作$f''$，称为$f$的二阶导函数。
对于任何正整数$n \in \N^*$，可以定义$f$的$n$阶导函数$f^{(n)}$。
定理 3.3.1（Leibniz 莱布尼茨）设函数$f$与$g$在区间$I$上都有$n$阶导数，那么乘积$fg$在区间$I$上也有$n$阶导数，并且 $$ (fg)^{(n)} = \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix} f^{(n-k)}g^{(k)} $$ 这里$f^{(0)} = f, g^{(0)} = g$。其中组合系数$\begin{pmatrix} n\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \quad(k=0,1,\cdots,n).$
3.4 微分学的中值定理
定义 3.4.1：设函数$f:(a, b) \rightarrow R$。如果对点$x_0 \in (a, b)$，存在$\delta > 0$，使得$\Delta = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b)$，并且当$x \in \Delta$时，$f(x_0) \ge f(x)$，即$f(x_0)$是$f$在$\Delta$上的最大值，那么称$f(x_0)$是$f$在$(a, b)$上的一个极大值，$x_0$称为$f$的一个极大值点。
类似地，可以定义$f$在$(a, b)$上的极小值和极小值点。
极小值和极大值统称极值，极小值点和极大值点统称极值点。
定理 3.4.1（Fermat）：若函数$f$在机极值点$x_0 \in (a, b)$处可导，则必有$f'(x_0) = 0$。
定义3.4.2：满足$x_0 \in (a, b)$且$f'(x_0) = 0$，则称$x_0$为函数$f$的一个驻点。
定理3.4.2（Rolle 罗尔）：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，那么存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
引理3.4.1：设函数$f$与$\lambda$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，并且$\lambda(a) = 1, \lambda(b) = 0$，则必存在一点$\xi \in (a, b)$，使得 $$ f'(\xi) = \lambda'(\xi)(f(a) - f(b)) $$ 定理3.4.3（Lagrange）：设$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则存在一点$\xi \in (a, b)$，使得 $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi) $$ 推论3.4.1：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则函数$f$在$[a, b]$上为常数的充分必要条件是 $f' = 0$在$(a, b)$上成立。
定理3.4.4（Cauchy）：设函数$f$和$g$在区间$[a, b]$上连续，在区间$(a, b)$上可导，且当$x \in (a, b)$时，$g'(x) \neq 0$，这时必存在一点$\xi \in (a, b)$，使得 $$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$ 定理3.4.5（Darboux达布）：如果$f$在$[a, b]$上可导，那么：
- 导函数$f'$可以取到$f'(a)$与$f'(b)$之间的一切值
- $f'$无第一类间断点
3.5 利用导数研究函数
定理3.5.1：设函数$f$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么$f$在$[a, b]$上递增（减）的充分必要条件是，$f' \ge 0 (\le 0)$在区间$(a, b)$上成立。
定理3.5.2：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。如果$f' > 0 (f' < 0)$在$(a, b)$上成立，那么$f$在$[a, b]$上是严格递增（严格递减）的。
定理3.5.3：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内除了有限点之外，有正（负）的导数，那么$f$在$[a, b]$上严格递增（严格递减）。
定理3.5.4：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么$f$在$[a, b]$上严格递增（严格递减）的充分必要条件是：
- 当$x \in (a, b)$时，$f' \ge 0 (f' \le 0)$；
- 在$(a, b)$的任何开子区间上 $f' \neq 0$。
定理3.5.5：设函数$f$在$[a, b]$上连续，$x_0 \in (a, b)$：
- 如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f' > 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f' < 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值，所谓“严格极大值”是指，当$0 < |x-x_0| < \delta$时，$f(x) < f(x_0)$。
- 如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f' < 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f' > 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值，所谓“严格极小值”是指，当$0 < |x-x_0| < \delta$时，$f(x) > f(x_0)$。
定理3.5.6：设函数$f$在$[a, b]$上连续，$x_0 \in (a, b)$是$f$的一个驻点，进一步，设$f''(x_0)$存在，那么：
- 当$f''(x_0) < 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值；
- 当$f''(x_0) > 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值；
凸函数（Convex function）：设函数$f$在区间$I$上有定义，如果对任何$x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，以及任意的$\lambda_1, \lambda_2 > 0$，且$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，都有 $$ f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2x_2) \leq \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2) $$ 则$f$为$I$上的凸函数。如果上述不等式对任何的$x_1 \neq x_2, \lambda_1, \lambda_2 > 0 (\lambda_1 + \lambda_2 = 1)$不等号总成立，那么$f$在$I$上是严格凸函数。
定理3.5.9：函数$f$在$I$上市凸函数，当且仅当对任何$(x_1, x_2) \subset I$及任何$x \subset (x_1, x_2)$有 $$ \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x} $$ 如果$f$是严格凸函数，则上述是严格的不等号。
定理3.5.10：设$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则$f$在$[a, b]$上为凸函数（严格凸函数）的一个充分必要条件是，$f'$在$(a, b)$上递增（严格递增）。
定理3.5.11：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上有二阶导数，则$f$在$[a, b]$上为凸函数的充分必要条件是，$f'' \ge 0$在$(a, b)$上成立；而$f$在$[a, b]$上为严格凸函数的充分必要条件是，$f'' \ge 0$在$(a, b)$上成立，并且在$(a, b)$的任何子区间内$f''$不恒等于0.
3.6 L'Hospital法则
定理3.6.1（L'Hospital洛必达）：设$f, g$在$(a, b)$上可导，并且$g(x) \neq 0$对$x \in (a, b)$成立，又设 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} g(x) = 0 $$ 在这些条件下，如果极限$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$），那么便有 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. $$ 定理3.6.2：设函数$f, g$在$(a, +\infty)$上可导，并且$g(x) \neq 0$对$x \in (a, +\infty)$成立，又设 $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = 0, $$ 如果极限$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$），有 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. $$ 定理3.6.3：设函数$f, g$在$(a, b)$上可导，并且$g(x) \neq 0$，且 $$ \lim_{x \rightarrow a^+}g(x) = \infty $$ 如果极限$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$，那么 $$ \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}. $$
3.7 函数作图
定义3.7.1（拐点）：设函数$f$在$x_0$的两旁（包括$x_0$在内）有定义，在$x_0$的一侧图像$y = f(x)$时严格凸的，另一侧是严格凹的，那么称$x_0$是$f$的一个拐点。
定义3.7.2（渐近线）：（1）如果$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = a$或$\lim_{a \rightarrow -\infty}f(x) = b$，则称$y = a$或$y = b$为$y = f(x)$的一条水平渐近线。
（2）如果$\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = \pm \infty$或$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \pm \infty$，则称$x = x_0$为$y = f(x)$的一条垂直渐近线。
（3）如果$a \neq 0$，使得$\lim_{x \rightarrow +\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$或$\lim_{x \rightarrow -\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$，则称$y = ax + b$为$y = f(x)$的一条斜渐近线。
作图的步骤：
- 确定函数的定义域
- 判断函数是否有奇偶性、周期性及其他对称性
- 确定函数的增减区间及极值点
- 确定函数的凹凸区间及拐点
- 确定函数是否有渐近线
- 求出一些特殊点的值
第四章 一元微分学的巅峰
4.1 函数的微分
定义4.1.1（可微、微分）：设函数$f$在$(a, b)$上有定义，且$x_0 \in (a, b)$，如果存在一个常数$\lambda$使得 $$ f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = \lambda\Delta x + o(\Delta x) \quad(\Delta x \rightarrow 0), $$ 则称函数$f$在点$x_0$处可微。函数的改变量的线性主要部分$\lambda \Delta x$称为$f$在$x_0$处的微分，记作$\text{d} f(x_0)$。
因此，当$|x - x_0|$相当小时有： $$ f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$
一般地，关于函数四则运算的微分，有如下法则：
- $\text{d} (f \pm g) = \text{d} f \pm \text{d} g$
- $\text{d} (fg) = g \text{d} f + f \text{d} g$
- $\text{d} (\frac{f}{g}) = \frac{g \text{d} f + f \text{d} g}{g^2}$，其中$g \neq 0$
导函数$f'$可以用$\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$来表示，这是导数的Leibniz记号，因为$\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$是函数的微分与自变量的微分的商，因此导数也称为微商。
