5.5文章汇总
(北大附竞赛练习题) $U=\{2020,2021,\cdots,n\}$,其中$n\in \mathbb{N}^\ast$为偶数, $A,B\subseteq U,A\cap B=\emptyset,A\cup B=U$, $A$中的所有数之和等于$B$中的所有数之和.求$n$的最小值.
事实上,此题改编自1990年第31届IMO预选题:
试确定所有的正整数$k$,使得集合$\{X=\{1990,1990+1,\cdots,1990+k\}$可以分成两个不相交的子集$A$与$B$的并集,且$A$中元素之和等于$B$中的元素之和.
**解.**
$U$中所有元素之和为$\displaystyle\frac{\left( n+2020 \right) \left( n-2019 \right)}{2}$.由$A$中的所有数之和等于$B$中的所有数之和可知, $A,B$中的所有数之和均为
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\left( n+2020 \right) \left( n-2019 \right)}{2}=\left( \frac{n}{4}+505 \right) \left( n-2019 \right).$$
因为$n$为偶数, $n-2019$为奇数, 则$n$必为$4$的倍数.
令$n=2020+4m$,用$|U|,|A|,|B|$分别表示$U,A,B$的元素的个数.因为$|U|=4m+1$是奇数,故$|A|\neq |B|$.不妨设$|A|>|B|$,于是$|A|\geqslant 2m+1,|B|\leqslant 2m$,故$A$中的元素之和不小于$\displaystyle\sum_{n=0}^{2m}(2020+n)$; $B$中的元素之和不大于$\displaystyle\sum_{n=2m+1}^{4m}(2020+n)$.由此可得
$$\sum_{n=0}^{2m}(2020+n)\leqslant \sum_ {n=2m+1}^{4m}(2020+n).$$
于是$m^2\geqslant 505$,则$m\geqslant 23,n\geqslant 2020+92=2112$.
可以证明,当$n=4m$且$n\geqslant 2112$时, $U$存在满足题意的子集$A$和$B$.事实上,当$n=2112$时,可令
$$\begin{aligned}
A_1&=\{2020,2020+1,\cdots,2020+46\},\\
B_1&=\{2020+47,2020+48,\cdots,2020+92\}.
\end{aligned}$$
由于$A_1$的元素之和小于$B_1$的元素之和,其差为$96$,因此$A_1$与$B_1$不满足题意.然而,我们可以调整它们的元素,使这种差缩小为$0$.例如,对换$A_1$中的$2020$与$B_1$中的$2068$,所得的集合$A$与$B$满足题意.
当$n> 2112$时,我们仍将$2020+1,\cdots,2020+46,2068$划分给$A$,将$2020,2020+47,2020+49,\cdots,2020+92$划分给$B$.然后对从$2020+93$起的其余$n-2020-92$个数,将每四个相继整数中的最小值和最大值划分给$A$,另外两个中间值划分给$B$.由于$n$是$4$的倍数,故$n-2020-92$也是$4$的倍数,因此可将这$n-2020-92$个数全部划分给$A$和$B$.显然,这样的$A$和$B$满足题意.
综上所述, 当$n=4m$且$n\geqslant 2112$时满足题意,即$n$的最小值为$2112$.
注:事实上, $n=4m+3$也符合题意,此时$n-2019$为$4$的倍数.
2022年九州大学入学考试数学试题
1.考虑空间直角坐标系中的五点
$$O(0,0,0),\quad A(1,1,0),\quad B(2,1,2), \quad P(4,0,-1),\quad Q(4,0,5).$$
记经过三点$O,A,B$的平面为$\alpha$, $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},
\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$.请回答以下问题.
(1)求与向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$两者垂直,且$x$分量为正大小为$1$的向量$\overrightarrow{n}$.
(2)求点$P$关于平面$\alpha$对称的点$P'$的坐标.
(3)点$R$在平面$\alpha$上运动时,求$\left| \overrightarrow{PR} \right|+\left| \overrightarrow{RQ} \right|$
最小时的点$R$的坐标.
2.设$n\geqslant 3$为自然数, $\alpha,\beta$为不同的实数,请回答以下问题.
(1)证明存在以下实数$A,B,C$和多项式$Q(x)$使得
$$x^n=(x-\alpha)(x-\beta)^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)
+B(x-\alpha)+C.$$
(2) (1)用$n,\alpha,\beta$来表示(1)中的$A,B,C$.
(3)对于(2)中的$A$,将$n$和$\alpha$固定,求$\beta$趋近$\alpha$时的极限$\displaystyle\lim_{\beta\to\alpha} A$.
3.设自然数$m,n$满足
$$\begin{aligned}
n^4=1+210m^2.\quad ①
\end{aligned}$$
请回答以下问题.
(1)证明$\displaystyle\frac{n^2+1}{2},\frac{n^2-1}{2}$为互质的整数.
(2)证明$n^2-1$是$168$的倍数.
(3)求一组满足①的自然数$(m,n)$.
4.阅读下面叙述定积分的文章,回答后面的问题.
对于区间$a\leqslant x\leqslant b$上的连续函数$f(x)$,选择一个使$F'(x)=f(x)$的函数$F(x)$, $f(x)$从$a$到$b$的定积分用
$$\begin{aligned}
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\quad ①
\end{aligned}$$
定义.定积分的值不取决于$F(x)$的选择.
定积分具有以下性质(A), (B), (C)
(A) $\displaystyle\int_a^b{\left\{ kf\left( x \right) +lg\left( x \right) \right\} dx}=k\int_a^b{f\left( x \right) dx}+l\int_a^b{g\left( x \right) dx}$
(B) 当$a\leqslant c\leqslant b$时,
$\displaystyle\int_a^c{f\left( x \right) dx}+\int_c^b{f\left( x \right) dx}=\int_a^b{f\left( x \right) dx}$
(C) 若区间$a\leqslant x\leqslant b$中有$g(x)\geqslant h(x)$,则$\displaystyle\int_a^b{g\left( x \right) dx}\geqslant \int_a^b{h\left( x \right) dx}$
其中$f(x),g(x),h(x)$均为区间$a\leqslant x\leqslant b$上的连续函数, $k,l$为常数.
下面,设$f(x)$为区间$0\leqslant x\leqslant 1$上的连续递增函数, $n$为自然数.
利用定积分的性质(a)对常数函数进行定积分的计算可知
$$\begin{aligned}
\frac{1}{n}f\left( \frac{i-1}{n} \right) \leqslant \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}{f\left( x \right) dx}\leqslant \frac{1}{n}f\left( \frac{i}{n} \right) \quad (i=1,2,\cdots,n) ②
\end{aligned}$$
成立. 若记$\displaystyle S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f\left( \frac{i-1}{n} \right)$,根据不等式②和定积分的性质(b)可知以下不等式成立
\begin{align*}
0 \leqslant \int_{0}^{1}{f\left( x \right) dx}-S_n\leqslant \frac{f(1)-f(0)}{n}\quad ③
\end{align*}
根据夹挤定理可知$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\int_{0}^{1}{f\left( x \right) dx}$成立.
(1)当函数$F(x),G(x)$可微时,
$$\{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)$$
根据导函数的定义表示可知是成立的.另外,可利用该等式和定积分的定义①,以及定积分的性质(A)中$k=l=1$时的等式
$$
\int_a^b{\left\{ f\left( x \right) +g\left( x \right) \right\} dx}=\int_a^b{f\left( x \right) dx}+\int_a^b{g\left( x \right) dx}.
$$
进行证明.
(2)利用定积分的定义和平均值的定理证明以下结论.
当$a< b$时,如果在区间$a\leqslant x\leqslant b$上有$g(x)>0$,
则$\displaystyle\int_a^b{g\left( x \right) dx}>0$.
(3) 选择(A) (B) (C)中最合适的作为性质(a),详细证明文章中的不等式②.
(4)选择(A) (B) (C)中最合适的作为性质(b),详细证明文章中的不等式③.
5.在$xy$平面上的曲线$C$可利用参数变量$t$按如下定义:
$$x=5\cos t+\cos5t,\quad y=5\sin t-\sin 5t\quad (-\pi\leqslant t\leqslant \pi)$$
请回答以下问题.
(1)证明在区间$\displaystyle 0 < t <\frac{\pi}{6}$上, $\displaystyle\frac{dx}{dt}<0,\frac{dy}{dt}<0$.
(2)求曲线$C$在$\displaystyle 0\leqslant t\leqslant\frac{\pi}{6}$的部分, $x$轴和直线$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$所包围的图形的面积.
(3)证明曲线$C$关于$x$轴对称.另外,将$C$上的点以原点为中心逆时针旋转,证明所得的点在$C$上.
(4)画出曲线$C$的大致形状.
2022年东北大学入学考试数学试题
1.设$K$为大于$3$的奇数,考虑满足$l+m+n＝K$的正奇数组$(l,m,n)$的个数$N$.例如,当$K=5$时,将$(l,m,n)=(1,1,3)$和$(l,m,n)=(1,3,1)$视为不同的组.
(1)当$K=99$时,求$N$.
(2)当$K=99$时,求$l,m,n$中含有两个以上相同奇数的组$(l,m,n)$的个数.
(3) 求满足$N>K$的最小的$K$.
2.设$a$为实数,考虑实数$x$的函数$f(x)=(x^2+3x+a)(x+1)^2$.
(1) 求$f(x)$的最小值为负时$a$的取值范围.
(2)当$a<2$时, $f(x)$有两个极小值.此时,设$f(x)$的极小值点为$\alpha_1,\alpha_2\ (\alpha_1<\alpha_2)$.证明$f(\alpha_1)< f(\alpha_2)$.
(3)假设$f(x)$在$x<\beta$时单调递减,并且在$x=\beta$处取得最小值.求$a$的取值范围.
3.对于正整数$n$,设
$$
S_n=\sum_{k=1}^n{\left( \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1 \right)}.
$$
(1)对于正实数$x$,证明以下不等式成立.
$$\frac{x}{2+x}\leqslant \sqrt{1+x}-1\leqslant\frac{x}{2}.$$
(2)求极限值$\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n$.
4.在$xy$平面的第一象限内,将同时与直线$l:y=mx\ (m>0)$和$x$轴相切的半径为$a$的圆记为$C$,考虑经过圆$C$圆心的直线$y=tx\ (t>0)$.另外,设与直线$l$和$x$轴以及圆$C$均相切的圆的半径为$b$,且$b>a$.
(1)用$m$表示$t$.
(2)用$t$表示$\displaystyle\frac{b}{a}$.
(3)求极限值$\displaystyle\lim _{m\rightarrow 0+}\frac{1}{m}\left( \frac{b}{a}-1 \right)$.
5.在空间直角坐标系中,考虑由向量$$\overrightarrow{a}=(1,2,1),\quad \overrightarrow{b}=(1,1,-1),\quad \overrightarrow{c}=(0,0,1)$$
所确定的两条直线
$$l:s\overrightarrow{a},\quad l':t\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\quad (s,t\text{为实数}).$$
以点$A_1$为原点$(0,0,0)$,过点$A_1$作直线$l'$的垂线$A_1B_1$.接着,过点$B_1\left( t_1\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$作直线$l$的垂线$B_1A_2$.类似地,重复这些步骤,过点$A_k\left( s_k\overrightarrow{a}\right)$作直线$l'$的垂线$A_kB_k$,过点$B_k\left( t_k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$作直线$l$的垂线$B_kA_{k+1}$,确定出点$A_n\left( s_n\overrightarrow{a}\right),B_n\left( t_n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$ ($n$为正整数).
(1)用$s_n$表示$s_{n+1}$.
(2)求极限值$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}s_n,T=\lim_{n\to\infty}t_n$.
(3)对于(2)中求出的$S$、$T$,将点$A,B$分别设为$A\left( S\overrightarrow{a}\right),B\left( T\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)$,证明直线$AB$与两条直线$l,l'$均垂直.
6.考虑以半径为$1$的圆为底面,高度为$\sqrt{3}$的圆柱和半径为$r$的球.当圆柱底面的圆心和球的球心相同时,求圆柱内部和球内部公共部分的体积$V(r)$.
2022年名古屋大学入学考试数学试题
1.设$a,b$为实数.
(1)求整式$x^3$除以二次多项式$(x-a)^2$所得的余式.
(2)以实数为系数的二次多项式$f(x)=x^2+\alpha x+\beta$除整式$x^3$所得的余数为$3x+b$.根据$b$的值,求这样的$f(x)$有多少个?
2.一个骰子掷了三次.第一次出现的是$a$,第二次出现的是$b$,第三次出现的眼睛是$c$.假设骰子从$1$到$6$出现的的概率相等.
(1)求$ab+2c\geqslant abc$的概率.
(2)求$ab+2c$和$2abc$互质的概率.
3.在复平面上,给定以原点$O$为顶点的正六边形$OABCE$.顶点按逆时针方向分别记为$O,A,B,C,D,E$.若有互不相同的非零复数$\alpha,\beta,\gamma$满足
$$0\leqslant \arg\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)\leqslant \pi,\quad
4\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2=0,\quad 2\gamma^2-(3\alpha+\beta+2)\gamma+(\alpha+1)(\alpha+\beta)=0,$$
$\alpha,\beta,\gamma$为正六边形$OABCE$的顶点.
(1)求$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}$,并回答$\alpha,\beta$分别是哪个顶点.
(2)求出所有$(\alpha,\beta,\gamma)$组,并在复平面上画出每一组对应的正六边形$OABCE$.
4.设函数$f(x)$在区间$x\geqslant 0$上为连续递增函数,满足$f(0)=1$. $f(x)$是区间$x\geqslant 0$上的递增函数是指,对于区间上任意实数$x_1,x_2$,若$x_1< x_2$,则$f(x_1) < f(x_2)$成立.下面设$n$为正整数.
(1)证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx=\infty$.
(2)在区间$y>2$上定义函数$F_n(y)$为$\displaystyle F_n(y)=\int_{2+\frac{1}{n}}^{y}\frac{f(x)}{x-2}dx$,证明$\displaystyle\lim_ {y\to\infty}F_n(y)=\infty$.另外,证明存在唯一的大于$\displaystyle 2+\frac{1}{n}$的实数$a_n$满足
$$\int_{0}^{2-\frac{1}{n}}\frac{f(x)}{2-x}dx
+\int_{2+\frac{1}{n}}^{a_n}\frac{f(x)}{2-x}dx=0.$$
(3)对于(2)中的$a_n$,证明不等式$a_n<4$对所有$n$都成立.
2022年大阪大学入学考试数学试题
1.设$r$为正实数.在复平面上,点$z$在以点$\displaystyle\frac{3}{2}$为圆心半径为$r$的圆周上运动时,求满足
$$z+w=zw$$
的点$w$所描绘的图形.
2.设$\displaystyle\alpha=\frac{2\pi}{7}$,回答以下问题.
(1)证明$\cos 4\alpha=\cos 3\alpha$.
(2)当$f(x)=8x^3+4x^2-4x-1$时,证明$f(\cos\alpha)=0$成立.
(3)证明$\cos \alpha$为无理数.
3.对于正实数$t$,考虑平面直角坐标系上的两点$P(0,t)$和$\displaystyle Q\left( \frac{1}{t},0 \right)$.当$t$在$1\leqslant t\leqslant 2$的范围内运动时,在平面直角坐标系上画出线段$PQ$经过的部分.
4.设$f(x)=\log(x+1)+1$.回答以下问题.
(1)证明方程$f(x)=x$在$x>0$的范围内只有一个解.
(2)设(1)的解为$a$.若实数$x$满足$0< x < \alpha$,证明下面不等式成立
$$0 < \frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x}< f'(x).$$
(3)数列$\{x_n\}$由
$$x_1=1,\quad x_{n+1}=f(x_n)\quad (n=1,2,3,\cdots)$$
确定.
此时,对于所有自然数$n$,证明
$$\alpha-x_{n+1}<\frac{1}{2}(\alpha-x_n)$$
成立.
(4)对于(3)中的数列$\{x_n\}$,证明$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\alpha$.
5.在平面直角坐标系中,以$t$为参数
$$x=e^t\cos t+e^{\pi},\quad y=e^t\sin t\quad (0\leqslant t\leqslant \pi)$$
表示的曲线为$C$.求曲线$C$和$x$轴围成的部分的面积.
