算法第三章作业

1.分析“数字三角形”问题
1.1 递归方程式（最优子结构与边界条件）
状态定义：设dp[i][j]表示从第i行第j列的数字出发，到三角形底部的最大路径和。
递归方程式：由于每一步可沿左斜线或右斜线向下，因此dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])。
其中triangle[i][j]表示第i行第j列的数字。
边界条件：当i = n-1（假设行索引从0开始，n为总行数）时，dp[n-1][j] = triangle[n-1][j]（最底层的数字到自身的路径和就是其本身）。
1.2 填表法的表维度、范围、顺序及最优值
表的维度：二维表格，维度为n × n（n是数字三角形的行数）。
填表范围：行范围是从第n-2行到第0行（从下往上填），列范围是每行的所有列（第i行有i+1个列，i从0开始）。
填表顺序：从下往上，从左到右。先计算最底层的dp 值（边界条件），再依次计算上一层的每个位置的dp值。
原问题的最优值：dp[0][0]（从顶点出发到底部的最大路径和）。
1.3 时间与空间复杂度分析
时间复杂度：需要填充 n × n规模的表格，每个表格元素的计算时间是O(1)，因此时间复杂度为O(n²)。
空间复杂度：若使用二维数组存储 dp表，空间复杂度为O(n²)。可优化为一维数组（滚动数组），空间复杂度降为 O(n)（因为计算第 i 行时仅依赖第 i+1行的结果）。

2.对动态规划算法的理解和体会
动态规划是一种通过将原问题分解为重叠子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算的算法思想。在“数字三角形”问题中，动态规划的核心价值体现在，相比暴力枚举所有路径（时间复杂度为 O(2ⁿ)），动态规划将时间复杂度优化到 O(n²)，在n较大时（如n=100）效率提升极其显著。而且，它要求我们从状态定义、状态转移、边界条件三个维度拆解问题，这种结构化的分析方法也适用于最长公共子序列、背包问题等。