泛函分析讲义整理 Chapter 2. Hilbert 空间上的算子

Ch.2 Hilbert 空间上的算子

6 基本理论和例子

Proposition 6.1 设 \(\mathcal H\) 和 \(\mathcal K\) 是 Hilbert 空间，\(A: \mathcal H\to \mathcal K\) 是线性算子。则以下四者等价：

• \(A\) 连续
• \(A\) 在 \(0\) 处连续
• \(A\) 在某一点处连续
• 存在常数 \(c>0\) 使得 \(\forall h\in \mathcal H, \Vert Ah\Vert\leq c\Vert h\Vert\)。

进而可以定义算子范数

\[\begin{aligned} \Vert A\Vert &= \sup\{\Vert Ah\Vert : h\in \mathcal H, \Vert h\Vert \leq 1\} \\ &= \sup\{\Vert Ah\Vert : h\in \mathcal H, \Vert h\Vert = 1\} \\ &= \sup\{\Vert Ah\Vert / \Vert h\Vert: h\neq 0\} \\ &= \inf\{c>0: \Vert Ah\Vert\leq c\Vert h\Vert\}. \end{aligned} \]

Proof：类似 Proposition 3.1 和 3.3。

Notation 记 \(\mathcal B(\mathcal H, \mathcal K)\) 为 \(\mathcal H\) 到 \(\mathcal K\) 的全体有界线性算子。特别地，记 \(\mathcal {B(H)} := \mathcal {B(H, H)}\)。

Proposition 6.2

• 若 \(A,B\in \mathcal B(\mathcal H, \mathcal K)\)，则 \(A+B\in \mathcal {B(H, K)}\) 且 \(\Vert A+B\Vert \leq \Vert A\Vert + \Vert B\Vert\)。

• 若 \(\alpha\in \mathbb F, A\in \mathcal {B(H, K)}\)，则 \(\alpha A\in \mathcal {B(H, K)}\) 且 \(\Vert \alpha A\Vert = |\alpha|\Vert A\Vert\)。

• 若 \(A\in \mathcal {B(H,K)}, B\in \mathcal {B(K,L)}\)，则 \(\Vert BA\Vert \leq \Vert B\Vert\Vert A\Vert\)。

Proof：（1）（2）trivial。

（3）对任意 \(h\in \mathcal H\)，\(\Vert BAh\Vert\leq \Vert B\Vert\Vert Ah\Vert \leq \Vert B\Vert\Vert A\Vert\Vert h\Vert\)。

Example 6.3 若 \(\dim \mathcal H = n<\infty, \dim \mathcal K = m < \infty\)，令 \(\{e_1, \dots, e_n\}\) 为 \(\mathcal H\) 的一组基，\(\{\epsilon_1, \dots, \epsilon_n\}\) 为 \(\mathcal K\) 的一组基，则从 \(\mathcal H\) 到 \(\mathcal K\) 的所有连续映射都有界。对每组 \(1\leq j\leq n, 1\leq i\leq m\)，令 \(a_{ij} = \langle Ae_j, \epsilon_i\rangle\)，则 \(m\times n\) 矩阵 \((a_{ij})\) 可描述 \(A\)。

Example 6.4 令 \(e_1, e_2, \dots,\) 是 \(l^2\) 的一组基。若 \(A\in \mathcal B(l^2)\)，则无穷矩阵 \((a_{i,j}), a_{i,j} = \langle Ae_j, e_i\rangle\) 可描述 \(A\)。

Theorem 6.5 设 \(L(X, \Omega, \mu)\) 是 \(\sigma\)-有限测度空间，\(\mathcal H = L^2(X, \Omega, \mu) := L^2(\mu)\)。若 \(\phi \in L^2(\mu)\)，定义 \(M_\phi: L^2(\mu) \to L^2(\mu)\) 为 \(M_\phi f = \phi f\)，则 \(M_\phi \in \mathcal B(L^2(\mu))\) 且 \(\Vert M_\phi\Vert = \Vert \phi \Vert_{\infty}\)。

Proof：回顾

\[\Vert \phi\Vert_\infty := \inf\{\sup\{|\phi(x)|: x\not\in N\}: N\in \Omega, \mu(N) = 0\} = \inf\{c>0: \mu(\{x\in X: |\phi(x)|>c\}) = 0\}. \]

即 \(\Vert \phi \Vert_\infty\) 是所有使得 \(|\phi(x)| \leq c, \mu-\text{a.e.}\) 的 \(c\) 的下界，也即 \(|\phi(x)|\leq \Vert \phi\Vert_\infty, \mu-\text{a.e.}\)。

不妨假设 \(\phi\) 是有界可测函数且 \(|\phi(x)| \leq \Vert \phi\Vert_\infty, \forall x\)。因此若 \(f\in L^2(\mu)\) 则 \(\int |\phi|^2 d\mu \leq \Vert\phi f\Vert_\infty^2\int|f|^2 d\mu\)。即 \(M_\phi \in \mathcal B(L^2(\mu))\) 且 \(\Vert M_\phi\Vert \leq \Vert \phi\Vert_\infty\)。

任取 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\Delta \in \Omega, 0<\mu(\Delta) < \infty\) 使得 \(|\phi(x)| \geq \Vert \phi \Vert_\infty - \epsilon, x\in \Delta\)。

取 \(f = (\mu(\Delta)^{-1/2}\chi_\Delta)\)，则 \(f\in L^2(\Delta)\) 且 \(\Vert f\Vert_2 = 1\)。因此

\[\Vert M_\phi\Vert^2 \geq \Vert \phi f\Vert_2^2 = (\mu(\Delta))^{-1}\int_\Delta |\phi|^2d\mu \geq (\Vert \phi\Vert_\infty - \epsilon)^2. \]

令 \(\epsilon \to 0\) 可得 \(\Vert M_\phi\Vert \geq \Vert \phi\Vert_\infty\)。

Notation \(M_\phi\) 称为乘积算子。

Theorem 6.6 设 \((X, \Omega, \mu)\) 为测度空间，\(k: X\times X\to \mathbb F\) 是 \(\Omega \times \Omega\)-可测函数，且存在常数 \(c_1, c_2\) 使得

\[\int_X |k(x,y)|d\mu(y) \leq c_1, \mu-\text{a.e.}; \int_X |k(x,y)|d\mu(x) \leq c_2, \mu-\text{a.e.} \]

定义 \(K: L^2(\mu) \to L^2(\mu)\) 为

\[(Kf)(x) = \int k(x,y)f(y)d\mu(y), \]

则 \(K\) 是有界线性算子，且 \(\Vert K\Vert \leq (c_1c_2)^{1/2}\)。

Notation \(K\) 称为积分算子，\(k\) 称为核函数。

Proof：首先证明 \(Kf\in L^2(\mu)\)。若 \(f\in L^2(\mu)\)，则

\[\begin{aligned} |Kf(x)| &\leq \int |k(x,y)||f(y)|d\mu(y) \\ &\leq \int |k(x,y)|^{1/2}|k(x,y)|^{1/2}|f(y)|d\mu(y) \\ &\leq \bigg(\int|k(x,y)|d\mu(y)\bigg)^{1/2}\bigg(\int |k(x,y)||f(y)|^2 d\mu(y)\bigg)^{1/2} \\ &\leq c_1^{1/2}\bigg(\int |k(x,y)||f(y)|^2 d\mu(y)\bigg)^{1/2}. \end{aligned} \]

因此

\[\begin{aligned} \int|Kf(x)|^2 d\mu(x) &\leq c_1\int\int|k(x,y)||f(y)|^2 d\mu(y)d\mu(x) \\ &= c_1\int |f(y)|^2\int |k(x,y)|d\mu(x)d\mu(y) \\ &\leq c_1c_2\Vert f\Vert^2. \end{aligned} \]

所以 \(Kf\) 有限（\(\mu-\text{a.e.}\)），\(Kf\in L^2(\mu)\) 且 \(\Vert Kf\Vert^2\leq c_1c_2\Vert f\Vert^2\)。

Example 6.7 设 \(k: [0,1]\times [0,1]\to \mathbb R\) 是集合 \(\{(x,y): y<x\}\) 的特征函数，对应的乘积算子 \(V: L^2(0, 1) \to L^2(0, 1)\) 定义为

\[Vf(x) := \int_0^x f(y)dy \]

称为 Volterra 算子。

7 伴随算子

Definition 7.1（半双线性形）设 \(\mathcal H\) 和 \(\mathcal K\) 是 Hilbert 空间，函数 \(u: \mathcal H \times \mathcal K \to \mathbb F\) 称为半双线性形如果

\[\forall h,g\in \mathcal H, k,f\in \mathcal K, \alpha,\beta\in \mathbb F, u(\alpha h + \beta g, k) = \alpha u(h,k) + \beta u(g,k); u(h, \alpha k + \beta f) = \overline\alpha u(h,k) + \overline\beta u(h, f). \]

称半双线性形 \(u\) 有界如果存在常数 \(M\) 使得 \(|u(h, k)| \leq M\Vert h\Vert \Vert k\Vert, \forall h\in \mathcal H, k\in \mathcal K\)。

Theorem 7.2 若 \(u: \mathcal{H\times K} \to \mathbb F\) 是有界半双线性形，则存在唯一的算子 \(A\in \mathcal {B(H ,K)}\) 和 \(B\in \mathcal {B(K, H)}\) 使得

\[u(h, k) = \langle Ah, k\rangle = \langle h, Bk\rangle, \forall h,k \]

且 \(\Vert A\Vert, \Vert B\Vert \leq M\)。

Proof：只证 \(A\) 的存在性。\(B\) 同理。

固定 \(h\in \mathcal H\)，定义 \(L_h: \mathcal H \to \mathbb F, L_h(k) = \overline{u(h, k)}\)，则 \(L_h\) 线性且 \(\Vert L_h(k)\Vert \leq M\Vert h\Vert \Vert k\Vert\)。

由 Riesz 表示定理，存在唯一的向量 \(f\in \mathcal H\) 使得 \(\langle k, f\rangle = L_h(k) = \overline{u(h, k)}\)，且 \(\Vert f\Vert \leq M\Vert h\Vert\)。

令 \(Ah = f\)，则易证 \(A\) 的线性和唯一性。

Definition 7.3（伴随算子）称 7.2 中定义的 \(B\) 为 \(A\) 的伴随算子。记作 \(B = A^*\)。

Proposition 7.4 若 \(U\in \mathcal {B(H, K)}\)，则 \(U\) 是同构当且仅当 \(U\) 可逆且 \(U^{-1} = U^*\)。

Proposition 7.5 若 \(A, B\in \mathcal {B(H)}, \alpha \in \mathbb F\)，则

• \((\alpha A + B)^* = \overline\alpha A^* + B^*\)
• \((AB)^* = B^*A^*\)
• \(A^{**} = A\)
• 若 \(A\) 在 \(\mathcal {B(H)}\) 中可逆且，则 \(A^*\) 可逆且 \((A^*)^{-1} = (A^{-1})^*\)。

Proposition 7.6 若 \(A\in \mathcal {B(H)}\)，则 \(\Vert A\Vert = \Vert A^*\Vert = \Vert A^*A\Vert^{1/2}\)。

Proof：任取 \(h\in \mathcal H, \Vert h\Vert \leq 1\)，有 \(\Vert Ah\Vert^2 = \langle Ah, Ah\rangle = \langle A^*Ah, h\rangle \leq \Vert A^*Ah\Vert\Vert h\Vert\leq \Vert A^*A\Vert\leq \Vert A^*\Vert\Vert A\Vert\)。

因此 \(\Vert A\Vert^2 \leq \Vert A^*A\Vert \leq \Vert A^*\Vert\Vert A\Vert\)，\(\Vert A\Vert \leq \Vert A^*\Vert\)。但 \(\Vert A^*\Vert \leq \Vert A^{**}\Vert = \Vert A\Vert\)，所以 \(\Vert A^*\Vert = \Vert A\Vert\)。所以上述不等式可改写为等式。

Example 7.7 设 \((X, \Omega, \mu)\) 是 \(\sigma\)-有限测度空间，\(M_\phi\) 是乘积算子，则 \(M_\phi^* = M_{\overline\phi}\)。

Example 7.8 若 \(K\) 是积分算子，则 \(K^*\) 是核函数为 \(k^*(x, y) := \overline{k(y, x)}\) 的积分算子。

Proposition 7.9 若 \(S: l^2 \to l^2\) 定义为 \(S(\alpha_1, \alpha_2, \dots,) = (0, \alpha_1, \alpha_2, \dots)\)，则 \(S\) 是同构，且 \(S^*(\alpha_1, \alpha_2, \dots) = (\alpha_2, \alpha_3, \dots)\)。

Proof：对任意 \((\alpha_n), (\beta_n) \in l^2\)，

\[\langle S^*(\alpha_n), (\beta_n)\rangle = \langle (\alpha_n), S(\beta_n)\rangle = \alpha_2\overline {\beta_1} + \alpha_3\overline{\beta_2} + \dots = \langle (\alpha_2, \alpha_3, \dots), (\beta_1, \beta_2, \dots)\rangle. \]

Definition 7.10（自伴随 / 正则算子）设 \(A\in \mathcal {B(H)}\)。称 \(A\) 自伴随如果 \(A^* = A\)；称 \(A\) 正则如果 \(A^*A = AA^*\)。

Proposition 7.11 若 \(\mathcal H\) 是 \(\mathbb C\) 上的 Hilbert 空间，\(A\in \mathcal {B(H)}\)，则 \(A\) 自伴随当且仅当 \(\langle Ah, h\rangle \in \mathbb R, \forall h\in \mathcal H\)。

Proof：若 \(A = A^*\)，则 \(\langle Ah, h\rangle = \langle h, Ah\rangle = \overline{\langle Ah, h\rangle}\)，即 \(\langle Ah, h\rangle \in \mathbb R\)。

反之，设 \(\langle Ah, h\rangle \in \mathbb R, \forall h\)。任取 \(\alpha \in \mathbb C, h,g\in \mathbb H\)，

\[\langle A(h + \alpha g), h + \alpha g\rangle = \langle Ah, h\rangle + \overline\alpha\langle Ah, g\rangle + \alpha\langle Ag, h\rangle + |\alpha|^2\langle Ag, g\rangle\in \mathbb R, \]

即上述表达式与其共轭相等。因此

\[\alpha\langle Ag, h\rangle + \overline\alpha\langle Ah, g\rangle = \overline\alpha\langle h, Ag\rangle + \alpha\langle g, Ah\rangle = \overline\alpha\langle A^*h, g\rangle + \alpha\langle A^*g, h\rangle. \]

令 \(\alpha = 1\) 和 \(\alpha = i\) 分别可得

\[\begin{aligned} \langle Ag, h\rangle + \langle Ah, g\rangle &= \langle A^*h, g\rangle + \langle A^*g, h\rangle; \\ i\langle Ag, h\rangle - i\langle Ah, g\rangle &= -i\langle A^*h, g\rangle + i\langle A^*g, h\rangle. \end{aligned} \]

所以 \(\langle Ag, h\rangle = \langle A^*g, h\rangle\)。所以 \(A^* = A\)。

Proposition 7.12 若 \(A = A^*\)，则

\[\Vert A\Vert = \sup\{|\langle Ah, h\rangle|: \Vert h\Vert = 1\}. \]

Proof：令 \(M = \sup\{|\langle Ah, h\rangle| : \Vert h\Vert = 1\}\)。

若 \(\Vert h\Vert = 1\)，则 \(|\langle Ah, h\rangle| \leq \Vert A\Vert\)，即 \(M \leq \Vert A\Vert\)。

另一方面，若 \(\Vert h\Vert = \Vert g\Vert = 1\)，则

\[\langle A(h \pm g), h\pm g\rangle = \langle Ah, h\rangle \pm \langle Ah, g\rangle \pm \langle Ag, h\rangle + \langle Ag, g\rangle = \langle Ah, h\rangle \pm \langle Ah, g\rangle \pm \langle g, A^*h\rangle + \langle Ag, g\rangle \]

因为 \(A = A^*\)，所以

\[\langle A(h \pm g), h\pm g\rangle = \langle Ah, h\rangle \pm 2\text{Re}\langle Ah, g\rangle + \langle Ag, g\rangle. \]

两式相减

\[4\text{Re}\langle Ah, g\rangle = \langle A(h+g), h+g\rangle - \langle A(h-g), h-g\rangle. \]

因此

\[4\text{Re}\langle Ah, g\rangle \leq M(\Vert h+g\Vert^2 + \Vert h-g\Vert^2) = 2M(\Vert h\Vert^2 + \Vert g\Vert^2) = 4M. \]

即 \(\text{Re}\langle Ah, g\rangle \leq M\)。所以 \(|\langle Ah, g\rangle| \leq M\)。由 \(h,g\) 的任意性 \(\Vert A\Vert \leq M\)。

Corollary 7.13 若 \(A = A^*\) 且对任意 \(h\) 均有 \(\langle Ah, h\rangle = 0\)，则 \(A = 0\)。

Proposition 7.14 若 \(\mathcal H\) 是 \(\mathbb C\) 上的 Hilbert 空间，\(A\in \mathcal {B(H)}\) 且对任意 \(h\) 均有 \(\langle Ah, h\rangle = 0\)，则 \(A = 0\)。

Notation 若 \(A\in \mathcal{B(H)}\)，则 \(B = (A + A^*)/2\) 和 \(C = (A - A^*) / 2i\) 是自伴随算子。称 \(B,C\) 分别为 \(A\) 的实部和虚部。

Proposition 7.15 若 \(A\in \mathcal {B(H)}\)，则以下三者等价：

• \(A\) 正则；
• \(\Vert Ah\Vert = \Vert A^*h\Vert, \forall h\)；
• \(A\) 的实部和虚部可交换。

Proof：若 \(h\in \mathcal H\)，则 \(\Vert Ah\Vert - \Vert A^*h\Vert = \langle Ah, Ah\rangle - \langle A^*h, A^*h\rangle = \langle (A^*A - AA^*)h, h\rangle\)。

因为 \(A^*A - AA^*\) 自伴随，所以由 7.13，（1）（2）等价。

若 \(B,C\) 分别为 \(A\) 的实部和虚部，则

\[A^*A = B^2 - iCB + iBC +C^2, AA^* = B^2 + iCB - iBC + C^2. \]

因此 \(A^*A = AA^*\) 当且仅当 \(BC = CB\)。所以（1）（3）等价。

Proposition 7.16 若 \(A\in \mathcal B(H)\)，则以下三者等价：

• \(A\) 是等距算子；
• \(A^*A = I\)；
• \(\langle Ah, Ag\rangle = \langle h, g\rangle, \forall h,g\in \mathcal H\)。

Proof：由 5.2，（1）（3）等价；

注意到若 \(h,g\in \mathcal H\)，\(\langle A^*Ah, g\rangle = \langle Ah, Ag\rangle\)。即（2）（3）等价。

Proposition 7.17 若 \(A\in \mathcal {B(H)}\)，则以下三者等价：

• \(A^*A = AA^* = I\)；
• \(A\) 是单位算子（等距满射）；
• \(A\) 是正则等距算子。

Proof：（1）\(\Rightarrow\)（2）：5.2。

（2）\(\Rightarrow\)（3）：由 7.16，\(A^*A = I\)。由 \(A\) 是等距满射可得 \(A^{-1}\) 也是。

再由 7.16，\(I = (A^{-1})^*(A^{-1}) = (A^*)^{-1}A^{-1} = (AA^*)^{-1}\)。所以 \(A^*A = AA^* = I\)。

（3）\(\Rightarrow\)（1）：由 7.16，\(A^*A = I\)。因为 \(A\) 正则，所以 \(AA^* = A^*A = I\)。

Theorem 7.18 若 \(A\in \mathcal{B(H)}\)，则 \(\text{Ker}A = (\text{Im}A^*)^\perp\)。

Proof：若 \(h\in \text{Ker} A, g\in \mathcal H\)，则 \(\langle h, A^*g\rangle = \langle Ah, g\rangle = 0\)。所以 \(\text{Ker} A\subset (\text{Im} A^*)^\perp\)。

另一方面，若 \(h\perp \text{Im}A^*, g\in \mathcal H\)，则 \(\langle Ah, g\rangle = \langle h, A^*g\rangle = 0\)。所以 \((\text{Im}A^*)^\perp \subset \text{Ker} A\)。

8 投影算子，幂等算子，不变子空间，约化子空间

Definition 8.1（幂等和投影算子）称 \(\mathcal H\) 上的线性算子 \(E\) 是幂等算子如果 \(E^2 = E\)。称幂等算子 \(P\) 是投影算子如果 \(\text{Ker} P = (\text{Im} P)^\perp\)。

• 若 \(\mathcal {M\leq H}\)，则 \(P_\mathcal M\) 是投影算子。

• 若 \(E\) 是幂等算子，\(\mathcal M = \text{Im} E, \mathcal N = \text{Ker} E\)。

  • 因为 \(E\) 连续，所以 \(\mathcal N\) 是 \(\mathcal H\) 的闭子空间。
  • 因为 \((I-E)^2 = I-2E+E = I-E\)，所以 \(I-E\) 也是幂等算子。
  • 因为 \(0 = (I-E)h = h-Eh\) 当且仅当 \(h = Eh\)，所以 \(E \supset \text{Ker}(I-E)\)。
  • 若 \(h\in \text{Im} E, h = Eg\) 则 \(Eh = E^2g = Eg = h\)。因此 \(\text{Im}E = \text{Ker}(I-E)\)。同理 \(\text{Im}(I-E) = \text{Ker}E\)。

Proposition 8.2 设 \(E\) 是幂等算子。

• \(E\) 幂等当且仅当 \(I-E\) 幂等。
• \(\text{Im}E = \text{Ker}(I-E), \text{Ker}E = \text{Im}E\)。\(\text{Im}E\) 和 \(\text{Ker}E\) 都是 \(\mathcal H\) 的闭子空间。
• 若 \(\mathcal M = \text{Im}E, \mathcal N = \text{Ker}E\)，则 \(\mathcal M \cap \mathcal N = \{0\}, \mathcal {M+N=H}\)。

Proposition 8.3 若 \(E\) 在 \(\mathcal H\) 上幂等且 \(E\neq 0\)，则以下 6 条等价：

• \(E\) 是投影算子；
• \(E\) 是 \(\mathcal H\) 到 \(\text{Im}E\) 的正交投影；
• \(\Vert E\Vert = 1\)；
• \(E\) 是自伴随算子；
• \(E\) 是正则算子；
• \(\langle Eh, h\rangle \geq 0, \forall h\in \mathcal H\)。

Proof：（1）\(\Rightarrow\)（2）设 \(\mathcal M = \text{Im}E, P = P_\mathcal M\)。若 \(h\in \mathcal H\)，则\(Ph\) 是 \(\mathcal M\) 上唯一使得 \(h-Ph\in \mathcal M^\perp = (\text{Im}E)^\perp = \text{Ker}E\)。

因为 \(h-Ph = (I-E)h \in \text{Ker} E\)，所以由独立性 \(Eh = Ph\)。

（2）\(\Rightarrow\)（3）：由 2.7，\(\Vert E\Vert\leq 1\)。而 \(\forall h\in \text{Im}E, Eh = h\)，所以 \(\Vert E\Vert = 1\)。

（3）\(\Rightarrow\)（1）：设 \(h \in (\text{Ker}E)^\perp\)，因为 \(\text{Im}E = \text{Ker}(I-E)\)，所以 \(h-Eh \in \text{Ker}E\)。

即 \(0 = \langle h - Eh, h\rangle = \Vert h\Vert^2 - \langle Eh, h\rangle\)。即 \(\Vert h\Vert^2 = \langle Eh, h\rangle \leq \Vert Eh\Vert \Vert h\Vert \leq \Vert h\Vert^2\)。

所以若 \(h\in (\text{Ker}E)^\perp\)，则 \(\Vert Eh\Vert = \Vert h\Vert = \langle Eh, h\rangle^{1/2}\)。所以对 \(h\in (\text{Ker} E)^\perp\)，有

\[\Vert h-Eh\Vert^2 = \Vert h\Vert - 2\text{Re}\langle Eh, h\rangle + \Vert Eh\Vert^2 = 0. \]

即 \((\text{Ker} E)^\perp \subset \text{Ker}(I-E) = \text{Im}E\)。

另一方面，若 \(g\in \text{Im}E, g = g_1 + g_2\)，其中 \(g_1\in \text{Ker}E, g_2\in (\text{Ker}E)^\perp\)，则 \(g = Eg = Eg_2 = g_2\)。即 \(\text{Im}E \subset (\text{Ker}E)^\perp\)。

因此 \(\text{Im}E = (\text{Ker}E)^\perp\)，\(E\) 是投影。

（2）\(\Rightarrow\)（6）：若 \(h\in \mathcal H\)，记 \(h = h_1 + h_2, h_1\in \text{Im}E, h_2\in \text{Ker}E = (\text{Im}E)^\perp\)，则

\[\langle Eh, h\rangle = \langle E(h_1 + h_2), h\rangle = \langle Eh_1, h_1\rangle = \langle h_1, h_1\rangle = \Vert h_1\Vert^2 \geq 0. \]

（6）\(\Rightarrow\)（1）：令 \(h_1\in \text{Im}E, h_2\in \text{Ker}E\)。则由（6），\(0\leq \langle E(h_1+h_2), h_1+h_2\rangle = \langle h_1, h_1\rangle + \langle h_1, h_2\rangle\)。

即 \(-\Vert h_1\Vert^2 \leq \langle h_1, h_2\rangle, \forall h_1\in \text{Im}E, h_2\in \text{Ker}E\)。

若存在 \(h_1, h_2\) 使得 \(\langle h_1, h_2\rangle = \overline\alpha \neq 0\)，则令 \(k_2 = -2\alpha^{-1}\Vert h_1\Vert^2h_2\) 代入上述不等式得 \(-\Vert h_1\Vert^2 \leq -2\Vert h_1\Vert^2\)，矛盾。

因此 \(\langle h_1, h_2\rangle = 0\)，即 \(E\) 是投影。

（1）\(\Rightarrow\)（4）：设 \(h, g\in \mathcal H\)，令 \(h = h_1 + h_2, g = g_1 + g_2, h_1, g_1\in \text{Im}E, h_2, g_2\in \text{Ker}E\)，即 \(\langle Eh, g\rangle = \langle h_1, g_1\rangle\)。

同理 \(\langle E^*h, g\rangle = \langle h, Eg\rangle = \langle h_1, g_1\rangle = \langle Eh, g\rangle\)。所以 \(E = E^*\)。

（4）\(\Rightarrow\)（5）：显然。

（5）\(\Rightarrow\)（1）：由 7.15 \(\Vert Eh\Vert = \Vert E^*h\Vert, \forall h\)。即 \(\text{Ker}E = \text{Ker}E^*\)。而由 7.18 得 \(\text{Ker} E^* = \text{Im}E\)，所以 \(E\) 是投影。

Definition 8.4（正交差） 若 \(\{\mathcal M_i\}\) 是 \(\mathcal H\) 中一族两两正交的子空间，则记

\[\oplus_i \mathcal M_i := \text{span}(\cup_i\mathcal M_i). \]

若 \(\mathcal M\) 和 \(\mathcal N\) 是 \(\mathcal H\) 的闭子空间，则记

\[\mathcal M \ominus \mathcal N := \mathcal M \cap \mathcal N^\perp \]

称为 \(\mathcal M\) 与 \(\mathcal N\) 的正交差。

Definition 8.5（不变/约化子空间）若 \(A\in \mathcal {B(H)}, \mathcal {M\leq N}\)，则称 \(\mathcal M\) 是算子 \(A\) 的不变子空间如果 \(\forall h\in \mathcal H, Ah\in \mathcal M\)，即 \(A\mathcal M\subset \mathcal M\)；称 \(\mathcal M\) 是 \(A\) 的约化子空间如果 \(A\mathcal M\subset \mathcal M\) 且 \(A\mathcal M^\perp \subset A\mathcal M^\perp \subset \mathcal M^\perp\)。

Definition 8.6 若 \(\mathcal {M\leq N}\)，则 \(\mathcal {H = M\oplus N^\perp}\)。若 \(A\in \mathcal {B(H)}\)，则 \(A\) 可写作 \(2\times 2\) 算子矩阵

\[A = \begin{bmatrix} W & X \\ Y & Z \\ \end{bmatrix}, \]

其中 \(W\in \mathcal {B(M)}, X \in \mathcal {B(M^\perp, M^)}, Y\in \mathcal {B(M, M^\perp)}, Z\in \mathcal {B(M^\perp)}\)。

Proposition 8.7 若 \(A\in \mathcal {B(H)}, \mathcal {M\leq N}\)，记 \(P = P_{\mathcal M}\)，则以下三者等价：

• \(\mathcal M\) 是 \(A\) 的不变子空间；
• \(PAP = AP\)；
• 在 8.6 中 \(Y = 0\)。

且以下四者等价：

• \(\mathcal M\) 是 \(A\) 的约化子空间；
• \(PA = AP\)；
• 在 8.6 中 \(Y = 0, X = 0\)；
• \(\mathcal M\) 是 \(A\) 和 \(A^*\) 的不变子空间。

Proof：（1）\(\Rightarrow\)（2）：若 \(h\in \mathcal M, Ph\in \mathcal M\)，则 \(APh\in \mathcal M\)。即 \(P(APh) = APh, PAP = AP\)。

（2）\(\Rightarrow\)（3）：若 \(P\) 可表示为关于 \(\mathcal {H = M\oplus M^\perp}\) 的 \(2\times 2\) 算子矩阵，则

\[P = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

因此

\[PAP = \begin{bmatrix} W & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = AP = \begin{bmatrix} W & 0 \\ Y & 0 \\ \end{bmatrix}. \]

所以 \(Y = 0\)。

（3）\(\Rightarrow\)（1）：若 \(Y = 0\) 且 \(h\in \mathcal M\)，则

\[Ah = \begin{bmatrix} W & X \\ 0 & Z \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Wh \\ 0 \end{bmatrix} \in \mathcal M. \]

（4）\(\Rightarrow\)（5）：因为 \(\mathcal M\) 和 \(\mathcal M^\perp\) 是 \(A\) 的不变子空间，所以由（2），\(AP = PAP, A(I-P) = (I-P)A(I-P)\)。

将第二个等式展开得 \(A - AP = A - AP - PA + PAP\)。因此 \(PA = PAP = AP\)。

（5）\(\Rightarrow\)（6）：

\[PA = \begin{bmatrix} W & X \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = AP = \begin{bmatrix} W & 0 \\ Y & 0 \\ \end{bmatrix}. \]

所以 \(Y = 0, X = 0\)。

（6）\(\Rightarrow\)（7）：若 \(Y = 0, X = 0\)，则

\[A = \begin{bmatrix} W & 0 \\ 0 & Z \\ \end{bmatrix}, A^* = \begin{bmatrix} W^* & 0 \\ 0 & Z^* \\ \end{bmatrix}. \]

由（3），\(\mathcal M\) 同时为 \(A\) 和 \(A^*\) 的不变子空间。

（7）\(\Rightarrow\)（4）：若 \(h\in \mathcal M^\perp, g\in \mathcal M\)，则 \(\langle g, Ah\rangle = \langle A^*g, h\rangle = 0\)。因为 \(g\) 为 \(\mathcal M\) 中任意向量，\(Ah\in \mathcal M^\perp\)，所以 \(A\mathcal M^\perp \subset \mathcal M^\perp\)。

9 紧算子

Definition 9.1（紧算子）称算子 \(T: \mathcal {H\to K}\) 为紧算子如果对 \(\mathcal H\) 中单位闭球 \(D\)，\(T(D)\) 在 \(\mathcal K\) 中有紧闭包。\(\mathcal H\) 到 \(\mathcal K\) 的全体紧算子记作 \(\mathcal {B_0(H, K)}\)。简记 \(\mathcal {B_0(H)} := \mathcal {B_0(H, H)}\)。

Proposition 9.2

• \(\mathcal {B_0(H, K)} \subset \mathcal {B(H, K)}\)。
• \(\mathcal {B_0(H, K)}\) 是线性空间。若 \(\{T_n\}\subset \mathcal {B_0(H, K)}, T\in \mathcal {B(H, K)}\) 使得 \(\Vert T_n - T\Vert \to 0\)，则 \(T\in \mathcal {B_0(H, K)}\)。
• 若 \(A\in \mathcal {B(H)}, B\in \mathcal B(K), T\in \mathcal {B_0(H, K)}\)，则 \(TA, BT\in \mathcal {B_0(H, K)}\)。

Proof：（1）若 \(T\in \mathcal {B_0(H, K)}\)，则 \(\overline{T(U)}\) 在 \(\mathcal K\) 中紧。即存在常数 \(C>0\) 使得 \(T(D) \subset \{k\in \mathcal K: \Vert k\Vert\leq C\}\)。因此 \(\Vert T\Vert \leq C\)。

（2）只需证明 \(T(D)\) 全有界。因为 \(\mathcal H\) 是完备度量空间，所以只需证明 \(T(D)\) 具有紧闭包。

对任意 \(\epsilon > 0\)，选取 \(n\) 使得 \(\Vert T - T_n\Vert < \epsilon / 3\)。因为 \(T_n\) 紧，所以存在向量 \(h_1, \dots, h_m\in D\) 使得 \(T_n(D) \subset \cup_{j=1}^m B(T_nh_j; \epsilon / 3)\)。所以若 \(\Vert h\Vert \leq 1\)，则存在某 \(h_j\) 使得 \(\Vert T_nh_j - T_nh\Vert < \epsilon / 3\)。即

\[\Vert Th_j - Th\Vert \leq \Vert Th_j - T_nh_j\Vert + \Vert T_nh_j - T_nh\Vert + \Vert T_nh - Th\Vert < 2\Vert T-T_n\Vert + \epsilon / 3 < \epsilon. \]

即 \(T(D)\subset \cup_{j=1}^m B(Th_j; \epsilon)\)。

（3）由紧算子的定义，存在 \(r_1>0\)，使得 \(\overline{A(D_{\mathcal H})}\subset B_{\mathcal K}(r_1)\)。存在 \(r_2>0\)，使得 \(\overline{T(D_{\mathcal H})}\subset B_{\mathcal H}(r_2)\)。

由线性性，\(\overline{TA(D_\mathcal H)} \subset B_{\mathcal K}(r_1r_2)\)。\(BT\) 同理。

Definition 9.3（有限秩）称 \(\mathcal H\) 上的算子 \(T\) 具有有限秩如果 \(\text{Im}T\) 维数有限。\(\mathcal H\) 到 \(\mathcal K\) 的全体有限秩算子记作 \(\mathcal {B_{00}(H, K)}\)。简记 \(\mathcal {B_{00}(H)} := \mathcal {B_{00}(H, H)}\)。

Theorem 9.4 若 \(T\in \mathcal {B(H, K)}\)，则以下三者等价：

• \(T\) 是紧算子；
• \(T^*\) 是紧算子；
• 存在有限秩算子序列 \(\{T_n\}\) 使得 \(\Vert T - T_n\Vert \to 0\)。

Proof：（3）\(\Rightarrow\)（1）：由 9.2（2）和 \(\mathcal {B_{00}(H, K)}\subset \mathcal {B_0(H, K)}\)，显然。

（1）\(\Rightarrow\)（3）：因为 \(\overline{T(D)}\) 是紧集，所以它可分。即 \(\overline{\text{Im}T} = \mathcal L\) 是 \(\mathcal H\) 的可分子空间。

令 \(\{e_1, e_2, \dots\}\) 为 \(\mathcal L\) 的一组基，\(P_n\) 是 \(\mathcal H\) 到 \(\text{span}\{e_j : 1\leq j\leq n\}\) 上的投影算子。

令 \(T_n = P_nT\)，则 \(T_n\) 是有限秩算子。下证 \(\Vert T_n - T\Vert \to 0\)。

首先证明 \(\forall h\in \mathcal H, \Vert T_nh - Th\Vert \to 0\)。因为 \(k = Th\in \mathcal L\)，所以由 4.7 和 4.13（4）得 \(\Vert P_nk - k\Vert \to 0\)。得证。

因为 \(T\) 是紧集，所以任取 \(\epsilon > 0\)，存在向量 \(h_1, \dots, h_m\in D\) 使得 \(T(D) \subset \cup_{j=1}^m B(Th_j; \epsilon / 3)\)。所以若 \(\Vert h\Vert \leq 1\)，则选取 \(\Vert Th - Th_j\Vert < \epsilon / 3\) 有

\[\begin{aligned} \Vert Th - T_nh\Vert &\leq \Vert Th - Th_j\Vert + \Vert Th_j - T_nh_j\Vert + \Vert P_n(Th_j - Th)\Vert \\ &\leq 2\Vert Th - Th_j\Vert + \Vert Th_j - T_nh_j\Vert \\ &\leq 2\epsilon / 3 + \Vert Th_j - T_nh_j\Vert. \end{aligned} \]

所以存在 \(n_0\) 使得 \(\Vert Th_j - T_nh_j\Vert < \epsilon / 3, \forall j\leq m, n\geq n_0\)。

所以 \(\Vert Th - T_nh\Vert < \epsilon, n\geq n_0\) 对 \(h\in D\) 一致成立。即 \(\Vert T - T_n\Vert < \epsilon, \forall n\geq n_0\)。

（3）\(\Rightarrow\)（2）：设 \(\{T_n\}\) 是 \(\mathcal {B_{00}(H, K)}\) 上的序列，\(\Vert T_n - T\Vert \to 0\)，则 \(\Vert T_n^* - T^*\Vert = \Vert T_n - T\Vert \to 0\)。而 \(T_n^* \in \mathcal {B_{00}(H, K)}\)，因为由（3）得（1），所以 \(T^*\) 紧。

（2）\(\Rightarrow\)（1）：因为 \(\forall h\in \mathcal H, \Vert T^*h\Vert = \Vert Th\Vert\)，所以 \(T^*(D)\subset B(r)\) 可推知 \(T(D)\subset B(r)\)。

Corollary 9.5 若 \(T\in \mathcal {B_0(H, K)}\)，则 \(\overline{\text{Im}T}\) 可分；且如果 \(\{e_n\}\) 是 \(\overline{\text{Im}T}\) 的一组基且 \(P_n\) 是 \(\mathcal H\) 到 \(\text{span}\{e_j: 1\leq j\leq n\}\) 上的投影算子，则 \(\Vert P_nT - T\Vert \to 0\)。

Proposition 9.6 若 \(\mathcal H\) 是可分 Hilbert 空间且有基 \(\{e_n\}\)；设 \(\{\alpha_n\}\subset \mathbb F\)，\(M = \sup\{|\alpha_n|: n\geq 1\} < \infty\)。若 \(Ae_n = \alpha_n e_n, \forall n\)，则 \(A\) 可线性延拓为 \(\mathcal H\) 上的有界算子且 \(\Vert A\Vert = M\)。且算子 \(A\) 紧当且仅当 \(\alpha_n \to 0(n\to \infty)\)。

Notation 满足 9.6 条件的算子 \(A\) 被称为可对角化算子。

Proof：设 \(P_n\) 为 \(\mathcal H\) 到 \(\text{span}\{e_1, \dots, e_n\}\) 上的投影算子。则 \(A_n = A - AP_n\) 可对角化因为 \(A_ne_j = \alpha_je_j, j>n; A_ne_j = 0, j\leq n\)。所以 \(AP_n \in \mathcal{B_{00}(H)}\) 且 \(\Vert A_n\Vert = \sup\{|\alpha_j|: j>n\}\)。因为 \(\alpha_n \to 0\) 当且仅当 \(\Vert A_n\Vert \to 0\) 即 \(\{P_n\}\) 是收敛于 \(A\) 的有限秩算子序列，故 \(A\) 紧。

Proposition 9.7 若 \((X, \Omega, \mu)\) 是测度空间，\(k\in L^2(X\times X, \Omega\times \Omega, \mu\times \mu)\)，则

\[(Kf)(x) = \int k(x, y)f(y)d\mu(y) \]

是紧算子且 \(\Vert K\Vert \leq \Vert k\Vert_2\)。

Lemma 9.8 若 \(\{e_i: i\in I\}\) 是 \(L^2(X, \Omega, \mu)\) 的一组基，且

\[\phi_{ij}(x, y) = e_j(x)\overline{e_i(y)}, \forall i,j\in I, x,y\in X, \]

则 \(\{\phi_{ij}: i,j\in I\}\) 是 \(L^2(X\times X, \Omega\times \Omega, \mu\times \mu)\) 的一组基。若 \(k\) 和 \(K\) 如 9.7 所定义，则 \(\langle k, \phi_{ij}\rangle = \langle Ke_j, e_i\rangle\)。

Proof of 9.7：首先证明 \(K\) 是有界算子。

若 \(f\in L^2(\mu)\)，则

\[\Vert Kf\Vert^2 = \int\bigg|\int k(x, y) f(y) d\mu(y)\bigg|^2d\mu(x) \leq \int\bigg(\int|k(x,y)|^2d\mu(y)\bigg)\cdot\bigg(\int |f(y)|^2d\mu(y)\bigg)d\mu(x) = \Vert k\Vert^2\Vert f\Vert^2. \]

所以 \(K\) 有界且 \(\Vert K\Vert \leq \Vert k\Vert_2\)。

设 \(\{e_i\}\) 是 \(L^2(\mu)\) 的一组基，\(\phi_{ij}\) 如 9.8 所定义。则

\[\Vert k\Vert^2 \geq \sum_{i,j}|\langle k, \phi_{ij}\rangle|^2 = \sum_{i,j}|\langle Ke_j, e_i\rangle|^2. \]

因为 \(k\in L^2(\mu\times \mu)\)，所以存在至多可数个 \(i,j\) 使得 \(\langle k, \phi_{ij}\rangle \neq 0\)，记作 \(\{\psi_{km}: 1\leq k, m < \infty\}\)。\(\langle Ke_j, e_i\rangle = 0\) 除非 \(\phi_{ij}\in \{\psi_{km}\}\)。

设 \(\psi_{km}(x, y) = e_k(x)\overline{e_m(y)}\)，令 \(P_n\) 为 \(\text{span}\{e_k: 1\leq k\leq n\}\) 上的正交投影，令 \(K_n = KP_n + P_nK - P_n K P_n\)，则 \(K_n\) 是有限秩算子。下证 \(\Vert K-K_n\Vert \to 0 (n\to \infty)\)。

令 \(f\in L^2(\mu), \Vert f\Vert^2\leq 1\)，则 \(f = \sum_j \alpha_j e_j\)，即

\[\begin{aligned} \Vert Kf - K_nf\Vert^2 &= \sum_i |\langle Kf - K_nf, e_i\rangle|^2 \\ &= \sum_i \bigg|\sum_j \alpha_j\langle (K-K_n)e_j, e_i\rangle\bigg|^2 \\ &= \sum_k\bigg|\sum_m\alpha_m\langle(K-K_n)e_m, e_k\rangle\bigg|^2 \\ &\leq \sum_k\bigg[\sum_m|\alpha_m|^2\bigg]\bigg[\sum_m|\langle K-K_n\rangle e_m, e_k\rangle|^2\bigg] \\ &\leq \Vert f\Vert^2\sum_k\sum_m|\langle Ke_m, e_k\rangle - \langle KP_ne_m, P_ne_k\rangle - \langle KP_ne_m, P_ne_k\rangle + \langle KP_ne_m, P_ne_k\rangle|^2 \\ &= \sum_{k=n+1}^\infty\sum_{m=n+1}^\infty |\langle Ke_m, e_k\rangle|^2 \\ &= \sum_{k=n+1}^\infty\sum_{m=n+1}^\infty |\langle k, \psi_{km}\rangle|^2 \\ &\to 0(n\to \infty). \end{aligned} \]

Notation 9.7 证明了 Volterra 算子是紧算子。

Definition 9.9（特征值 / 特征向量）设 \(A\in \mathcal{B(H)}\)，称常数 \(\alpha\) 是 \(A\) 的特征值如果 \(\text{Ker}(A - \alpha) \neq (0)\)。若 \(h\) 是 \(\text{Ker}(A - \alpha)\) 上的非零向量，则称 \(h\) 是 \(A\) 属于特征值 \(\alpha\) 的特征向量。即 \(Ah = \alpha h\)。记 \(\sigma_p(A)\) 为 \(A\) 的全体特征值。

Example 9.10 设 \(A\) 是 9.6 所定义的可对角化算子。则 \(\sigma_p(A) = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots\}\)。若 \(\alpha\in \sigma_p(A)\)，令 \(J_\alpha = \{j\in \mathbb N: \alpha_j = \alpha\}\)，则 \(h\) 是属于 \(\alpha\) 的特征向量当且仅当 \(h\in \text{span}\{e_j : j\in J_\alpha\}\)。

Example 9.11 Volterra 算子没有特征值。

Example 9.12 设 \(h\in \mathcal H = L_{\mathbb C}^2(-\pi, \pi)\)，定义 \(K: \mathcal{H\to H}\) 为 \((Kf)(x) = (2\pi)^{-1/2}\int_{-\pi}^{\pi} h(x-y)f(y)dy\)。

令 \(\lambda_n = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\pi}^\pi h(x)e^{-inx}dx := \hat h(n)\)，称为 \(h\) 的第 \(n\) 个 Fourier 常数，则

\[Ke_n = \lambda_ne_n, e_n = (2\pi)^{-1/2} e^{-inx}. \]

Proposition 9.13 若 \(T\in \mathcal {B_0(H)}, \lambda\in \sigma_p(T), \lambda\neq 0\)，则特征空间 \(\text{Ker}(T - \lambda)\) 是有限维空间。

Proof：设存在无限正交序列 \(\{e_n\}\subset \text{Ker}(T - \lambda)\)。因为 \(T\) 是紧算子，所以存在子序列 \(\{e_{n_k}\}\) 使得 \(\{T e_{n_k}\}\) 收敛。即 \(\{Te_{n_k}\}\) 是 Cauchy 列。但对 \(n_k \neq n_j\)，\(\Vert Te_{nk} - Te_{nj}\Vert^2 = \|\lambda e_{nk} - e_{nj}\|^2 = 2|\lambda|^2 > 0\) 因为 \(\lambda\neq 0\)，矛盾！

Proposition 9.14 若 \(T\) 是 \(\mathcal H\) 上的紧算子，\(\lambda \neq 0\)，\(\inf\{\|(T-\lambda)h\| : \|h\| = 1\} = 0\)，则 \(\lambda \in \sigma_p(T)\)。

Proof：由题设，存在单位向量序列 \(\{h_n\}\) 使得 \(\| (T-\lambda)h_n \| \to 0\)。

因为 \(T\) 紧，所以存在向量 \(f\in \mathcal H\) 和子序列 \(\{h_{n_k}\}\) 使得 \(\Vert Th_{n_k} - f\Vert \to 0\)。而 \(h_{n_k} = \lambda^{-1}[(\lambda - T)h_{n_k} + Th_{n_k}]\to \lambda^{-1}f\)。

所以 \(1 = \|\lambda^{-1}f\| = |\lambda|^{-1}\|f\|\) 且 \(f\neq 0\)。又因为 \(Th_{n_k} \to \lambda^{-1}Tf\)，所以 \(f = \lambda^{-1}Tf\) 即 \(Tf = \lambda f\)。所以 \(\lambda \in \sigma_p(T)\)。

Corollary 9.15 若 \(T\) 是 \(\mathcal H\) 上的紧算子，\(\lambda \neq 0, \lambda \not\in \sigma_p(T)\)，且 \(\overline \lambda \not\in \sigma_p(T^*)\)，则 \(\text{Im}(T - \lambda) = \mathcal H\) 且 \((T - \lambda)^{-1}\) 是 \(\mathcal H\) 上的有界算子。

Proof：因为 \(\lambda \not\in \sigma_p(T)\)，所以由 9.14，存在常数 \(c>0\) 使得 \(\|(T-\lambda)h\| \geq c\|h\|, \forall h\in \mathcal H\)。

若 \(f\in \overline {\text{Im}(T - \lambda)}\)，则存在序列 \(\{h_n\}\subset \mathcal H\) 使得 \((T - \lambda)h_n \to f\)。

因为 \(\| h_n - h_m \| \leq c^{-1}\|(T-\lambda)h_n - (T-\lambda)h_m\|\) 所以 \(\{h_n\}\) 是 Cauchy 列。即存在 \(h\in \mathcal H\) 使得 \(h_n \to h\)。

因此 \((T-\lambda)h = f\)，\(\text{Im}(T-\lambda)\) 闭。又由 7.18，\(\text{Im}(T-\lambda) = [\text{Ker}(T-\lambda)^*]^\perp = \mathcal H\)。

任取 \(f\in \mathcal H\)，令 \(Af\) 为使得 \((T - \lambda)h = f\) 的唯一向量 \(h\)，则 \((T - \lambda) Af = f\)。由上面的不等式可得 \(c\|Af\| \leq \|(T-\lambda)Af\| = \|f\|\)。所以 \(\|Af\| \leq c^{-1}\|f\|\)，\(A\) 有界。

又 \((T - \lambda)A(T - \lambda)h = (T-\lambda)h\)，所以 \(0 = (T-\lambda)[A(T-\lambda)h-h]\)。因为 \(\lambda \not\in \sigma_p(T), A(T - \lambda)h = h\)，所以 \(A = (T - \lambda)^{-1}\)。