应用拓扑讲义整理 Chapter 3. 立方复形（Cubic Complex）

Chapter 3 立方复形

3.1 基本体素

3.1.1 体元和面元

Definition 3.1（单位体元）\(N\) 维单位网格 \(\mathbb{Z}^N\) 中，称单位体元（或简称为体元）为 \(\mathbb{R}^N\) 的一个子集

\[P := I_1\times \dots\times I_N, \]

其中第 \(i\) 个分量是第 \(i\) 维上的边 \(I_i = [m_i, m_i+1]\) 或点 \(I_i = \{m_i\}\)。\(N\) 称为 \(P\) 的嵌入数，每个 \(I_i\) 是一个单位区间。

Definition 3.2（\(n\) 维体元）由 \(n\) 条边和 \(N-n\) 个顶点围成的方体 \(P\) 称为 \(n\) 维体元（\(n\)-cell），记作 \(\dim P = n\)。

Example 3.3 当 \(N = 2\) 时，\(n\) 维体元是

• 一个点（\(0\)-cell），\(\{n\}\times \{m\}\)；
• 一条边（\(1\)-cell），\(\{n\}\times [m,m+1]\) 或 \([n,n+1]\times \{m\}\)；
• 一个正方形（\(2\)-cell），\([n,n+1]\times [m,m+1]\)。

其中 \(n,m\in \mathbb{Z}\)。

Definition 3.4（开 \(n\) 维体元）开 \(n\) 维体元是将围成的边换成开区间定义的 \(n\) 维体元。

Example 3.5 对 \(N=2\)，开 \(n\) 维体元是

• 一个点（\(0\)-cell），\(\{n\}\times \{m\}\)；
• 一条边（\(1\)-cell），\(\{n\}\times (m,m+1)\) 或 \((n,n+1)\times \{m\}\)；
• 一个正方形（\(2\)-cell），\((n,n+1)\times (m,m+1)\)。

其中 \(n,m\in \mathbb{Z}\)。

Exercise 3.6 证明欧氏空间 \(\mathbb{R}^N\) 的一族基 \(\mathcal{B}\) 和开体元 \(c\) 的交构成了它的基。对闭体元是否成立？

Proof：\(\mathcal{B}\) 中集合与 \(c\) 的交是 \(c\) 作为 \(\mathbb{R}^N\) 的子拓扑基，因此构成了 \(c\) 的基。该结论对闭体元仍然成立。

Definition 3.7（面）体元 \(P\) 的面 \(Q\) 是满足 \(Q\subset P\) 的体元。称面 \(Q\) 是 \(P\) 的真面如果 \(\dim Q < \dim P\)；称 \(Q\) 是 \(P\) 的基本面如果 \(\dim Q = \dim P - 1\)。

Notation 3 嵌入 \(\mathbb{R}^N\) 中全体 \(k\) 维单位体元的集合称为 \(\mathcal{R}_k^N\)。全体体元记为

\[\mathcal{R}^N := \cup_{k=0}^N \mathcal{R}_k^N. \]

Corollary 3.8 \(k\)-体元的真面是 \(l\)-体元，\(l<k\)。

Example 3.9 单位 \(3\)-体元 \([0,1]^3\) 的面包括 \(8\) 个顶点、\(12\) 条边和 \(6\) 个正方形。

Exercise 3.10 对 \(k\) 维体元，确定其顶点数、边数、基本面数、真面数和总面数。

Solution：顶点数：\(2^k\)；边数：\(k2^{k-1}\)；基本面数：\(2k\)；真面数：\(3^k-1\)；总面数：\(3^k\)。

3.1.2 方体的边界

Example 3.11 \(2\)-体元 \([1,2]\times [1,2]\) 的边界为

\[\begin{aligned} \partial([1,2]\times [1,2]) &= [1,2]\times \{1\} + \{2\}\times [1,2] + [1,2]\times \{2\} + \{1\}\times [1,2]\\ &= [1,2]\times \partial[1,2] + \partial[1,2]\times [1,2]. \end{aligned} \]

Definition 3.12 体元 \(P\in \mathcal{R}^N\)

\[P = I_1\times \dots\times I_{j-1}\times I_j\times I_{j+1}\times \dots\times I_N \]

的边界为

\[\partial P := \sum_{j=1}^n I_1\times \dots\times I_{j-1}\times \partial I_j\times I_{j+1}\times\dots\times I_N. \]

其中 \(\partial(A) = 0\)，\(\partial(AB) = A+B\)。

我们也记 \(\partial_kP\) 为 \(k\)-体元的边界。

Lemma 3.13 \(k+1\)-维体元 \(P\) 的任意 \((k-1)\)-维面 \(Q\) 都是恰好两个 \(k\)-维面的公共面。

Proof：设 \(1\leq i,j\leq N\) 是 \(P\) 中边且是 \(Q\) 中顶点。由 Definition 3.1，记

\[\begin{aligned} P &= I_1\times \dots\times I_i\times \dots\times I_j\times I_N \\ &= I_1\times \dots\times [m_i, m_{i+1}]\times \dots\times [m_j, m_{j+1}]\times \dots\times I_N. \end{aligned} \]

由 Definition 3.12 和 3.7，\(P\) 的包含 \(Q\) 的 \(k\)-维面必为以下之一：

\[\begin{aligned} f_1 &:= I_1\times \dots\times \{m_i\}\times I_j\times \dots\times I_N, \\ f_2 &:= I_1\times \dots\times \{m_i+1\}\times \dots\times I_j\times \dots\times I_N, \\ f_3 &:= I_1\times \dots\times I_i\times \dots\times \{m_j\}\times \dots\times I_N, \\ f_4 &:= I_1\times \dots\times I_i\times \dots\times \{m_j+1\}\times I_N. \\ \end{aligned} \]

对 \(Q := I_1\dots \times \{x\} \times \dots\times \{y\}\times \dots\times I_N\)，共有 4 种情况。分别对应

\[x = m_i, y = m_j, Q = f_1\cap f_3; \\ x = m_i+1, y = m_j, Q = f_2\cap f_3; \\ x = m_i, y = m_j+1, Q = f_1\cap f_4; \\ x = m_i+1, y = m_j+1, Q = f_2\cap f_4. \\ \]

Exercise 3.14 证明若 \(P\) 是 \(m\)-方体，则 \(\partial P\) 的所有非零项都是两个相对 \((m-1)\)-维面的和。

Proof：设 \(P = I_1\times \dots \times I_m = \prod_{i=1}^m [m_i,m_i+1]\)，则

\[\begin{aligned} \partial P &= \sum_{j=1}^m I_1\times \dots\times I_{j-1}\times (\{m_j\} + \{m_j+1\})\times I_{j+1}\dots\times I_m \\ &= \sum_{j=1}^m I_1\times \dots\times I_{j-1}\times \{m_i\}\times I_{j+1}\times \dots\times I_m + I_1\times \dots\times I_{j-1}\times \{m_j+1\}\times \dots\times I_m. \end{aligned} \]

Definition 3.15（内部点、边界点）称 \(x\in a\) 是 \(n\)-体元 \(a\) 的内部点如果 \(x\) 的某邻域包含于 \(a\)；否则为 \(a\) 的边界点。\(\partial a\) 是 \(a\) 的全体边界点的集合。

Example 3.16 固定 \(N=2\)，则开的 \(0\)-体元 \(P\)、\(1\)-体元 \(a\) 和 \(2\)-体元 \(\sigma\) 的内部点和边界点分别是什么？

\[\begin{aligned} \text{Int}(P) = \emptyset &, \text{Fr}(P) = P; \\ \text{Int}(a) = \emptyset &, \text{Fr}(a) = a\cup \{\text{the two endpoints}\}; \\ \text{Int}(\sigma) = \sigma &, \text{Fr}(\sigma) = 4\text{ edges}\cup 4\text{ vertices}; \\ \end{aligned} \]

Exercise 3.17 证明存在同胚映射 \(n\)-体元 \(a\) 到 \(n\)-球 \(\mathbb{D}^n\subset \mathbb{R}^n\) 将 \(a\) 的边界映射到 \(\mathbb{D}^n\) 的边界。

Proof：令

\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-x_0}{|x-x_0|}, & x\neq x_0;\\ 0, & x=x_0. \end{cases} \]

其中 \(x_0\) 是 \(a\) 的中心。则 \(f\) 是同胚且将 \(a\) 的边界映射到 \(\mathbb{D}^n\) 的边界。

3.1.3 立方复形

Definition 3.18（立方复形）立方复形 \(K\) 是 \(\mathcal{R}^N\) 的一个子集，\(c\in K\) 当且仅当 \(c\) 的所有面都属于 \(K\)。称 \(K\) 是有限的如果它包含的体元数量有限。

Exercise 3.19 下面的立方复形包含以下体元。

• \(0\) 维：

  \[\{0\}\times \{0\}, \{0\}\times \{1\}, \{1\}\times \{0\}, \{1\}\times \{1\}, \{2\}\times \{0\}, \{2\}\times \{1\} \]

• \(1\) 维：

  \[\{0\}\times [0,1], \{1\}\times [0,1], [0,1]\times \{0\}, [0,1]\times \{1\}, [1,2]\times \{0\}, [1,2]\times \{1\}, \{2\}\times [0,1] \]

• \(2\) 维：

  \[[0,1]\times [0,1]. \]

Exercise 3.20 给出 \(3\) 维单位方体作为立方复形包含的体元。

Solution：

• \(0\) 维：

\[\begin{aligned} \{0\}\times \{0\}\times \{0\}, \{0\}\times \{0\}\times \{1\}, \{0\}\times \{1\}\times \{0\}, \{0\}\times \{1\}\times \{1\}, \\ \{1\}\times \{0\}\times \{0\}, \{1\}\times \{0\}\times \{1\}, \{1\}\times \{1\}\times \{0\}, \{1\}\times \{1\}\times \{1\}. \\ \end{aligned} \]

• \(1\) 维：

  \[\begin{aligned} \{0\}\times \{0\}\times [0,1], \{0\}\times \{1\}\times [0,1], \{1\}\times \{0\}\times [0,1], \{1\}\times \{1\}\times [0,1], \\ \{0\}\times [0,1]\times \{0\}, \{0\}\times [0,1]\times \{1\}, \{1\}\times [0,1]\times \{0\}, \{1\}\times [0,1]\times \{1\}, \\ [0,1]\times \{0\}\times \{0\}, [0,1]\times \{0\}\times \{1\}, [0,1]\times \{1\}\times \{0\}, [0,1]\times \{1\}\times \{1\}. \\ \end{aligned} \]

• \(2\) 维：

  \[\begin{aligned} \{0\}\times [0,1]\times [0,1], \{1\}\times [0,1]\times [0,1], \\ [0,1]\times \{0\}\times [0,1], [0,1]\times \{1\}\times [0,1], \\ [0,1]\times [0,1]\times \{0\}, [0,1]\times [0,1]\times \{1\}. \\ \end{aligned} \]

• \(3\) 维：

  \[[0,1]\times [0,1]\times [0,1]. \]

Definition 3.21（立方复形的维数）立方复形 \(K\) 的维数，记作 \(\dim K\)，是其包含的单位复形的维数的最大值。

Definition 3.22（立方复形的 \(n\)-骨架）给定 \(n\)，则立方复形 \(K\) 的 \(n\)-骨架（记作 \(K^{(n)}\)）是其包含的所有所有 \(k\)-体元（\(k\leq n\)）构成的集合。

Example 3.23 Example 3.19 中的 \(n\)-骨架如下：

Corollary 3.24 \(n\)-骨架是立方复形。

Exercise 3.25 从单位方体构造如下立方复形。

Solution：

• \(K^{(0)}\) 是 16 个 \(0\)-体元 \(\{n\}\times \{m\}(n=0,1,2,3; m=0,1,2,3)\)；
• \(K^{(1)}\) 是 \(K^{(0)}\) 以及连接相邻两个 \(0\)-体元的 18 条边；
• \(K^{(2)}\) 是 \(K^{(0)}\cup K^{(1)}\) 以及除中间的 \([1,2]\times [1,2]\) 外的 8 个单位正方形。

Definition 3.26（立方复形的实现） 立方复形 \(K\) 的实现是其所有体元的并。

Definition 3.27（立方集合）称集合 \(X\subset \mathbb{R}^N\) 是立方的如果 \(X\) 可以写作有限个体元之并。

Exercise 3.28 证明若将定义中的体元改为开体元，立方复形 \(K\) 的实现的定义不会改变。

Proof：把定义中的体元改为开体元，因为每个开体元的边界等于它的所有面之并，所以 \(K\) 的实现仍包含所有体元。

Lemma 3.29 立方复形的实现是 \(\mathbb{R}^N\) 的一个闭子集。

Proof：有限立方复形显然成立。

若复形是无限的，则它在每个局部都是有限复形，且它们的并不会产生额外的聚点。

Lemma 3.30 任意有限图可以被表示为一个一维立方复形。

Exercise 3.31 证明 Lemma 3.30 并给出一个不可被表示为一维立方复形的图的例子。

Proof：对于 \(N\) 个点的有限立方复形，可令第 \(i\) 个点为 \(0\)-体元

\[\{0\}\times \dots\times \{0\}\times \{1\}\times \{0\}\times \dots\times \{0\} \]

其中第 \(i\) 个维度为 \(1\)，其他维度为 \(0\)。

每条边是连接两个顶点的线段，则这些边都是 \(1\)-体元且不相交。

3.2 无定向同调

3.2.1 二元群上的 \(k\)-链

Definition 3.22（\(k\)-链）\(k\)-链是 \(k\)-体元的形式和。特别地，对任意 \(k\)，\(0\) 是 \(k\)-链。

Definition 3.33（二元 \(k\)-链）二元 \(k\)-链是满足 \(x+x=0\) 的 \(k\)-链。

Corollary 3.34 二元链中没有定向。

Proof：\(x = -x\)。

Definition 3.35（复形的 \(k\)-链群）立方复形 \(K\subset \mathcal{R}^N\) 的 \(k\)-链群，记为 \(C_k(K)\)，为体元在 \(K\) 中的全体二元 \(k\)-链。特别地，全 \(k\)-链群记作 \(C_k := C_k(\mathcal{R}^N)\)。

Lemma 3.36 立方复形 \(K\) 的链群 \(C_k(K)\) 是由 \(K\) 中全体 \(k\)-体元生成的 \(C_k\) 子群。

3.2.2 二元算子

Definition 3.37（\(k\)-边界算子）单位复形 \(K\) 的链群 \(C_k(K)\) 上的 \(k\)-边界算子是

\[\partial_k^K: C_k(K)\rightarrow C_{k-1}(K), \sum_{\sigma_i\in K}s_i\sigma_i\mapsto \sum_{\sigma_i\in K} s_i\partial_k(\sigma_i). \]

其中 \(s_i\in \mathbb{Z}_2\)，且每个 \(\sigma_i\) 都是 \(k\)-体元。

Lemma 3.38 \(k\)-边界算子是同态。

Theorem 3.39（双边界恒等式）\(\partial_k\partial_{k+1} = 0\)。

Proof：因为 \(K\) 生成了阿贝尔群 \(C_{k+1}(K)\) 且每个边界算子都是同态，所以只需证明对每个 \(K\) 中的 \((k+1)\)-体元，都有 \(\partial_k\partial_{k+1}(c) = 0\)。再由 Lemma 3.13，结论成立。

Example 3.40 对 \(2\)-体元 \([0,1]\times [0,1]\)，我们验证 Theorem 3.39：

\[\begin{aligned} & \partial_1\partial_2([0,1]\times [0,1]) \\ =& \partial_1(\partial[0,1]\times [0,1] + [0,1]\times \partial[0,1]) \\ =& \partial_1(\{0\}\times [0,1] + \{1\}\times [0,1] + [0,1]\times \{0\} + [0,1]\times \{1\}) \\ =& \{0\}\times \{0\} + \{0\}\times \{1\} + \{1\}\times \{0\} + \{1\}\times \{1\} \\ +& \{0\}\times \{0\} + \{0\}\times \{1\} + \{1\}\times \{0\} + \{1\}\times \{1\} \\ =& 0. \end{aligned} \]

3.2.3 圈和边界

Definition 3.41（\(k\)-边界）设 \(K\) 是立方复形。称 \(k\)-链是 \(K\) 的 \(k\)-边界如果它是 \((k+1)\)-链的边界；\(k\)-边界群是 \(C_k(K)\) 的子群

\[B_k(K) := \text{Im}\partial_{k+1}. \]

Definition 3.42（\(k\)-圈）称 \(k\)-链是 \(K\) 的 \(k\)-圈如果它的边界为零；\(k\)-圈群是 \(C_k(K)\) 的子群

\[Z_k(K) := \ker \partial_k. \]

Corollary 3.43 每个边界都是圈，即

\[\forall k, B_k\subset Z_k\subset C_k. \]

Proof：由 Theorem 3.39，边界的边界为 0，因此边界必为圈。

Definition 3.44（\(k\)-圈的等价）称两个 \(k\)-圈是等价的如果它们形成了 \((k+1)\)-链的边界。

Exercise 3.45 给出下图的等价 \(1\)-圈和非等价 \(1\)-圈的例子。

Solution：等价 \(1\)-圈例如

\[C_1 = \partial([0,1]\times [0,1]), C_2 = \partial([0,1]\times [1,2]) \]

则 \(C_1 + C_2 = \partial([0,1]\times [0,2])\)。因此 \(C_1,C_2\) 是等价 \(1\)-圈。

非等价 \(1\)-圈例如

\[C_1 = \partial([0,1]\times [0,1]), C_3 = [1,2]\times \{1\} + \{1\}\times [1,2] + [1,2]\times \{2\} + \{2\}\times [1,2]. \]

则 \(C_1+C_3\) 不是任何 \(2\)-链的边界。因此 \(C_1,C_3\) 不是等价 \(1\)-圈。

Lemma 3.46 若 \(0\)-链 \(c\in C_0\) 包含偶数个顶点，则它是某个 \(s\in C_1\) 的边界。否则 \(c\) 不是边界。

Proof：可将顶点两两配对用 \(1\)-链连接。

3.2.4 链复形

Definition 3.47（链复形）链复形是一列 Abel 群和群同态

\[\cdots \longrightarrow G_{n+1}\stackrel{\partial_{n+1}}\longrightarrow G_n\stackrel{\partial_n}\longrightarrow G_{n-1}\longrightarrow \cdots, \]

使得 \(\partial_n\partial_{n+1} = 0, \forall n\in \mathbb{Z}\)。同态 \(\partial_n\) 称为 \(n\) 阶微分算子，\(G_n\) 称为 \(n\) 阶项。

Definition 3.48（有限立方复形的链同态）有限立方复形 \(K\subset \mathbb{R}^N\) 的链复形是一列同态和有限生成阿贝尔群

\[0 \stackrel{\partial_{N+1}}\longrightarrow C_N(K)\stackrel{\partial_N}\longrightarrow \cdots \stackrel{\partial_1}\longrightarrow C_0(K)\stackrel{\partial_0}\longrightarrow 0, \]

其中起点和终点是零群，\(\partial_{N+1}\) 和 \(\partial_0\) 是平凡同态。特别地，称链同态为全链同态如果 \(K = \mathcal{R}^N\)。

Example 3.49 对一张图，链复形为

\[0\stackrel{\partial_2}\longrightarrow C_1\stackrel{\partial_1}\longrightarrow C_0\stackrel{\partial_0}\longrightarrow 0. \]

因为 \(\partial_2 = \partial_0 = 0\)，故我们只需考虑边界算子 \(\partial_1\)。

另两个链复形 \(Z_k,B_k\) 都是平凡的。因为 \(Z_0 = C_0, B_1 = \{0\}\)。

Definition 3.50（正合列）称链复形在 \(n\) 阶处正合如果 \(\text{Im}\partial_{n+1} = \ker \partial_n\)。称链复形是正合列或正合链复形如果它在每一阶处均正合。

Lemma 3.51 正合列满足

\[\sum_{k=0}^N (-1)^k\text{rank}C_k = 0. \]

Proof：有限生成阿贝尔群可被视为 \(\mathbb{Z}\) 上的线性空间。由 Definition 3.50 可得

\[\dim C_k = \dim \ker\partial_k + \dim\text{Im}\partial_k = \dim \text{Im}\partial_{k+1} + \dim\text{Im}\partial_k. \]

且 \(\dim \text{Im}\partial_{N+1} = \dim \text{Im}\partial_0 = 0\)。容易递归证明题中结论。

Exercise 3.52 ？

Example 3.53 求 \(G_2\) 和 \(f_2\) 使得下面的序列是正合列。

\[0\stackrel{f_3=0}\longrightarrow G_2\stackrel{f_2}\longrightarrow \mathbb{R}^n\stackrel{f_1}\longrightarrow \mathbb{R}^m\stackrel{f_0=0}\longrightarrow 0. \]

因为 \(\ker f_2 = \text{Im}f_3 = 0\)，所以 \(f_2\) 是嵌入，即

\[G_2\cong \text{Im}f_2 = \ker f_1. \]

所以 \(\dim \mathbb{R}^n = \dim \ker f_1 + \dim \text{Im} f_1\)。

即 \(\dim \ker f_1 = n-m, G_2\cong \mathbb{R}^{n-m}\)。

Exercise 3.54 求 \(G_0\) 和 \(f_1\) 使得下面的序列是正合列，

\[0\stackrel{f_3=0}\longrightarrow 2\mathbb{Z}\stackrel{f_2=\text{Id}}\longrightarrow \mathbb{Z}\stackrel{f_1}\longrightarrow G_0\stackrel{f_0=0}\longrightarrow 0. \]

Proof：因为 \(\ker f_1 = \text{Im} f_2 = G_2 = 2\mathbb{Z}\)，\(\text{Im} f_1 = \ker 0 = G_0\)，

所以 \(f_1(2n) = 0, \forall n\)。令 \(G_0 = \mathbb{Z}_2, f_1(n) = n\bmod 2\)，则上述条件满足。

3.2.5 同调群

Definition 3.55（\(k\)-同调群）立方复形 \(K\) 的 \(k\)-同调群为

\[H_k(K) := Z_k(K) / B_k(K). \]

Exercise 3.56 证明 \(H_m(K) = H_m(K^{(m+1)})\) 并给出例子证明 \(K^{(m+1)}\) 不能替换为 \(K^{(m)}\)。

Proof：因为对任意 \(m\)，\(C_m(K) = C_m(K^{(m)})\)，所以

\[Z_m(K) = Z_m(K^{(s)}), \forall s\geq m;B_m(K) = B_m(K^{(t)}),\forall t\geq m+1. \]

所以 \(H_m(K) = Z_m(K) / B_m(K) = Z_m(K^{(m+1)})/B_m(K^{(m+1)}) = H_m(K^{(m+1)})\)。

Lemma 3.57 对有限立方复形 \(K\)，\(C_k(K), Z_k(K), B_k(K), H_k(K)\) 都是若干 \(\mathbb{Z}_2\) 的有限和。

Proof：所有元素的阶都是 \(2\)。

Definition 3.58（Betti 数） 立方复形 \(K\) 的 \(k\) 维骨架的同调群 \(H_k\) 的维数称为第 \(k\) 个 Betti 数。即

\[\beta_k(K) := \dim H_k(K). \]

Example 3.59 对仅包含两个孤立点 \(U,V\) 的立方复形 \(K = \{U,V\}\)，有

\[C_0 = \langle U,V\rangle = \{0,U,V,U+V\}, C_i=0(\forall i>0). \]

其他的群为

\[Z_0 := \ker \partial_0 = C_0, B_0 := \text{Im}\partial_1 = 0, H_0 := Z_0 / B_0 = \langle[U],[V]\rangle = \{\{0\},\{U\},\{V\},\{U+V\}\}. \]

即 \(K\) 有 2 个道路连通分量。即 \(\beta_0(K) = 2, \beta_i(K)=0(\forall i>0)\)。

Exercose 3.60 对仅包含两个点 \(U,V\) 和一条连接它们的线段的 \(K = \{U,V,e=UV\}\)，求 \(K\) 在 Lemma 3.57 中的各个群以及 Betti 数。

Proof：

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle U,V\rangle \cong \mathbb{Z}_2^2; \\ C_1 &= \langle e\rangle \cong \mathbb{Z}_2; \\ Z_0 &= \ker \partial_0 = C_0; \\ B_0 &= \text{Im}\partial_1 = \langle U+V\rangle\cong \mathbb{Z}_2; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle U,V\rangle / \langle U+V\rangle = \langle [U]\rangle \cong \mathbb{Z}_2; \\ Z_1 &= \ker \partial_1 = 0; \\ B_1 &= \text{Im}\partial_1 = 0; \\ H_1 &= Z_1 / B_1 = 0. \\ \beta_0 &= 1, \beta_i = 0(i\geq 1). \end{aligned} \]

Lemma 3.61 假设 \(K\) 和 \(L\) 是立方复形且 \(L = K\cup \{e\}\)，\(e = UV\not\in K\)，\(U,V\in K\) 是两个顶点。则

\[\begin{aligned} U &\sim V\text{ in }K\Rightarrow \beta_0(L) = \beta_0(K), \beta_1(L) = \beta_1(K) + 1; \\ U &\not\sim V \text{ in }K\Rightarrow \beta_0(L) = \beta_0(K)-1, \beta_1(L) = \beta_1(K). \end{aligned} \]

Proof：不妨假设 \(\dim K = \dim L = 1\)。

由 Definition 3.55,3.58 可得

\[\begin{aligned} \beta_0 &= \dim Z_0 - \dim B_0 = \dim \ker\partial_0 - \dim \text{Im}\partial_1, \\ \beta_1 &= \dim Z_1 - \dim B_1 = \dim \ker\partial_1 - \dim\text{Im}\partial_2. \\ \end{aligned} \]

\(\dim\ker\partial_0\) 等于点数，因此不变；

考虑 \(\dim\text{Im}\partial_1\)。若 \(U\sim V\)，则 \(M_{\partial_1}\) 加入的新的一列可以被表示为其他列的线性组合，即 \(\dim\text{Im}\partial_1\) 保持不变。若 \(U\not\sim V\)，则 \(\dim\text{Im}\partial_1\) 增加 \(1\)。

因为 \(e\not\in K\)，所以任意包含 \(e\) 的 \(2\)-体元都不在 \(K\) 中。因此加入这条边不改变 \(\dim\text{Im}\partial_2\)。若 \(U\sim V\)，则新加入的一列可以表示为其他列的线性组合，即生成了 \(L\) 中的一个圈。所以 \(\dim\ker\partial_1\) 增加 \(1\)。若 \(U\not\sim V\)，则加入这条边不改变 \(\dim\ker\partial_1\)。

综上，引理得证。

Example 3.62 对中间为空的正方形

\[K = \{A,B,C,D,a,b,c,d\} \]

其中 \(a = AB, b = BC, c = CD, d = DA\)，计算链复形、Lemma 3.57 中的各个群以及 Betti 数。

链群为

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D \rangle; \\ C_1 &= \langle a,b,c,d \rangle; \\ C_i &= 0, \forall i>1. \end{aligned} \]

链复形是

\[C_2 = 0 \stackrel{\partial_2 = 0}\longrightarrow C_1\stackrel{\partial_1}\longrightarrow C_0\stackrel{\partial_0=0}\longrightarrow 0. \]

边界算子的矩阵是

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

因此

\[\begin{aligned} Z_0 &:= \ker\partial_0 = C_0 = \langle A,B,C,D \rangle; \\ B_0 &:= \text{Im}\partial_1 = \langle A+B,B+C,C+D\rangle; \\ H_0 &:= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle = \{B_0, A+B_0\}, \\ \end{aligned} \]

其中 \(A + B_0 = \{A,B,C,D,A+B+C,A+C+D,A+B+D,B+C+D\}\)。

因为 \(K\) 只有一个连通分量，即 \(\beta_0(K) = 1\)。所以

\[Z_1 := \ker\partial_1 = ?, B_1 := \text{Im}\partial_2 = 0. \]

我们需要找到所有 \(e = (x,y,z,u)^T\) 使得 \(\partial_1 e = 0\)。即

\[x + u=0, x+y=0, y+z=0, z+u=0. \]

解得 \(e = (1,1,1,1)^T\)。因此

\[Z_1 = \langle e\rangle = \langle a+b+c+d\rangle, H_1 = Z_1/B_1 = \langle[a+b+c+d]\rangle. \]

即 \(\beta_1(K) = 1\)。即 \(K\) 有一个”洞“。

Exercise 3.63 对正方形

\[K = \{A,B,C,D,a,b,c,d,\tau\} \]

其中 \(\partial\tau = a+b+c+d, a=AB, b=BC, c=CD, d=DA\)，计算链复形，Lemma 3.57 中的群和 Betti 数。

Proof：链群是

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D \rangle; \\ C_1 &= \langle a,b,c,d \rangle; \\ C_2 &= \langle \tau\rangle; \\ C_i &= 0, \forall i>2. \end{aligned} \]

链复形是

\[C_3 = 0\stackrel{\partial_3 = 0}\longrightarrow C_2\stackrel{\partial_2}\longrightarrow C_1\stackrel{\partial_1}\longrightarrow C_0\stackrel{\partial_0=0}\longrightarrow 0. \]

Lemma 3.57 的群为

\[\begin{aligned} Z_0 &:= \ker\partial_0 = \langle A,B,C,D \rangle; \\ B_0 &:= \text{Im}\partial_1 = \langle A+B,B+C,C+D\rangle; \\ H_0 &:= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ Z_1 &:= \ker\partial_1 = \langle a+b+c+d \rangle; \\ B_1 &:= \text{Im}\partial_2 = \langle a+b+c+d\rangle; \\ H_1 &:= Z_1/B_1 = 0; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

Betti 数：\(\beta_0 = 1, \beta_1 = 0, \beta_i = 0(i>1)\)。

Exercise 3.64 求下列立方复形的链群、边界算子（用矩阵表示）、\(Z_k, B_k, H_k\)。

Solution：

（a）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle A+B,B+C,C+D\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A],[E]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,AD\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+AD \rangle; \\ B_1 &= 0; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AB+BC+CD+AD]\rangle; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

（b）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle A+B,B+C,C+D,D+E\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,AD,DE\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+AD \rangle; \\ B_1 &= 0; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AB+BC+CD+AD]\rangle. \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \]

（c）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E,F\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E,F \rangle; \\ B_0 &= \langle A+B,B+C,C+D,D+E,E+F\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,AD,DE,EF,AF\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+AD,AD+DE+EF+AF \rangle; \\ B_1 &= 0; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AB+BC+CD+AD],[AD+DE+EF+AF]\rangle. \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix} \]

（d）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle A+B,B+C,C+D\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A],[E]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,AD\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+AD \rangle; \\ B_1 &= \langle AB+BC+CD+AD \rangle; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = 0; \\ C_2 &= \langle ABCD\rangle; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, M_{\partial_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

（e）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle A+B,B+C,C+D,D+E\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,AD,DE\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+AD \rangle; \\ B_1 &= \langle AB+BC+CD+AD \rangle; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = 0; \\ C_2 &= \langle ABCD\rangle; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}, M_{\partial_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

（f）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E,F\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E,F \rangle; \\ B_0 &= \langle A+B,B+C,C+D,D+E,E+F\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,AD,DE,EF,AF\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+AD,AD+DE+EF+AF \rangle; \\ B_1 &= \langle AB+BC+CD+AD\rangle; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AD+DE+EF+AF]\rangle. \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}, M_{\partial_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

Exercise 3.65 计算 \(n\) 个正方形和 \(n\) 个正方体连接形成的复形的同调群。

Solution：

（1）

\[\begin{aligned} H_0 &= \langle[A_0]\rangle\cong \mathbb{Z}_2;\\ H_1 &= \langle[a_1+b_1+c_0+c_1],[a_2+b_2+c_1+c_2],\dots,[a_n+b_n+c_{n-1}+c_n]\rangle\cong \mathbb{Z}_2^n; \\ H_i &= 0(i>1). \end{aligned} \]

（2）

\[\begin{aligned} H_0 &= \langle [A_0]\rangle \cong \mathbb{Z}_2; \\ H_1 &= \langle [a_1]\rangle \cong \mathbb{Z}_2; \\ H_2 &= \langle [\tau_1+\tau_2+\tau_3+\tau_4+\sigma_0+\sigma_1], [\tau_5+\tau_6+\tau_7+\tau_8+\sigma_1+\sigma_2], \dots,\\ &[\tau_{4n-3}+\tau_{4n-2}+\tau_{4n-1}+\tau_{4n}+\sigma_{n-1}+\sigma_n]\rangle\cong \mathbb{Z}_2^n.\\ H_i &= 0(i>2). \end{aligned} \]

3.3 定向同调

3.3.1 实线性空间上的定向

Definition 3.66（坐标向量）设 \(\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n)\) 是线性空间 \(V\) 的一组基。则任意向量 \(\mathbf{v}\in V\) 可被唯一表示为

\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n a_i\mathbf{b}_i = M_\mathcal{B}[\mathbf{v}]_\mathcal{B}. \]

其中 \(M_\mathcal{B} := [\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n]\) 是这组基对应的矩阵，列向量 \([\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = (a_1,a_2,\dots,a_n)^T\) 称为 \(\mathbf{v}\) 在基 \(\mathcal{B}\) 下的坐标向量。

Example 3.67 对 \(V = \mathbb{R}^n\) 和标准基 \(\mathcal{B}\)，列向量 \(\mathbf{v}\in V\) 和它的坐标向量是相同的。

Definition 3.68（基变换矩阵）设 \(\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n)\) 和 \(\mathcal{C} = (\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_n)\) 是 \(V\) 的两组基，则从 \(\mathcal{B}\) 到 \(\mathcal{C}\) 的坐标变换矩阵为

\[P_{\mathcal{C\leftarrow B}} = [[\mathbf{b}_1]_\mathcal{C},\dots,[\mathbf{b}_n]_\mathcal{C}]. \]

Lemma 3.69 对任意 \(\mathbf{v}\in V\)，\([\mathbf{v}]_\mathcal{C} - P_{\mathcal{C\leftarrow B}}[\mathbf{v}]_\mathcal{B}\)。

Proof：

\[\begin{aligned} M_\mathcal{C}[\mathbf{v}]_\mathcal{C} = \mathbf{v} &= M_\mathcal{B}[\mathbf{v}]_\mathcal{B} = [\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n][\mathbf{v}]_\mathcal{B} \\ &= [M_\mathcal{C}[\mathbf{b}_1]_\mathcal{C},\dots,M_\mathcal{C}[\mathbf{b}_n]_\mathcal{C}][\mathbf{v}]_\mathcal{B} \\ &= M_\mathcal{C}[[\mathbf{b}_1]_\mathcal{C},\dots,[\mathbf{b}_n]_\mathcal{C}][\mathbf{v}]_\mathcal{B} \\ &= M_\mathcal{C}P_{\mathcal{C\leftarrow B}}[\mathbf{v}]_\mathcal{B} \end{aligned}. \]

Lemma 3.70 对线性空间 \(V\) 的任意的基 \(\mathcal{B,C,D}\)，有

• \(P_{\mathcal{B\leftarrow B}} = I\)，
• \(P_{\mathcal{C\leftarrow B}} = P_{\mathcal{B\leftarrow C}}^{-1}\)，
• \(P_{\mathcal{D\leftarrow B}} = P_{\mathcal{D\leftarrow C}}P_{\mathcal{C\leftarrow B}}\)。

Definition 3.71（同向和反向）两组基 \(\mathcal{B}\) 和 \(\mathcal{C}\) 具有相同定向如果 \(\det P_{\mathcal{C\leftarrow B}} > 0\)；具有相反定向如果 \(\det P_{\mathcal{C\leftarrow B}} < 0\)。

Definition 3.72（线性空间的定向）线性空间 \(V\) 的定向是 \(V\) 的基在 Definition 3.71 定义的同向下的一组等价类。特别地，\(0\) 维线性空间的定向是符号 \(\pm 1\)。

Lemma 3.73 任意线性空间具有两个定向。

Definition 3.74（标准定向）\(\mathbb{R}^n\) 的标准定向是它的标准正交基的定向；非标准正交基是与标准正交基相反的定向。

Corollary 3.75 \(\mathbb{R}^n\) 的一组基 \(\mathcal{B}\) 的基是标准定向的如果 \(\det M_\mathcal{B} > 0\)，即它的矩阵的行列式是正的。

Example 3.76 在 \(\mathbb{R}\) 中，一组标准正交基是标量 \(+1\)，因此它的标准正向是从左到右的。任意非零标量 \(b\) 都是一组基，且它是标准定向的如果它是正数。

Example 3.77 在 \(\mathbb{R}^2\) 中，标准正交基是 \(\mathbf{e}_1 = [1,0]^T, \mathbf{e}_2 = [0,1]^T\)。从 \(\mathbf{e}_1\) 到 \(\mathbf{e}_2\) 最短的旋转是逆时针旋转，这也就是 \(\mathbb{R}^2\) 的标准定向。一组基 \(\mathcal{B} = (\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2)\) 是标准定向的，当且仅当 \(\mathbf{b}_1\) 到 \(\mathbf{b}_2\) 最短的旋转是逆时针旋转。

Exercise 3.78 对 \(\mathbb{R}^3\) 给出和 Example 3.77 类似的讨论。

Solution：在 \(\mathbb{R}^3\) 中，标准正交基是右手系，即 \(\mathbf{e}_1\times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3\)。所以一组基 \(\mathcal{B}\) 是标准正向的当且仅当 \(\mathbf{e}_1\times \mathbf{e}_2\) 到 \(\mathbf{e}_3\) 最短的旋转是逆时针旋转。

Lemma 3.79 设 \(\sigma\in S_n\) 是排列，两组基

\[\mathcal{B} := (\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\dots,\mathbf{b}_n), \mathcal{S} := (\mathbf{b}_{\sigma(1)},\mathbf{b}_{\sigma(2)},\dots,\mathbf{b}_{\sigma(n)}) \]

定向相同当且仅当 \(\text{sgn}(\sigma) = +1\)。

3.3.2 定向的体元和链

Definition 3.80（定向体元）定向的 \(k\)-体元是一个带 \(\mathbb{R}^k\) 上的定向的 \(k\)-体元。

Definition 3.81（诱导定向）\(k\)-体元在其边界上的诱导定向是 \(\partial P\) 的定向（\(k-1\) 个向量的基）后接 \(P\) 在 \(\partial P\) 的外法向向量所得的 \(k\) 个向量。

Definition 3.82（定向 \(k\)-链）立方复形 \(K\) 中定向的 \(k\)-链是定向 \(k\)-体元的形式线性和，

\[S = \sum_i r_ia_i, \]

其中 \(a_i\) 是定向 \(k\)-体元，\(r_i\in \mathbb{Z}\)。

Example 3.83 定向 \(k\)-链的解释如下。

• 链 \(x\) 沿 \(x\) 的方向经过体元 \(x\)。
• 链 \(-2x\) 沿 \(x\) 的逆方向经过体元 \(x\) 两次。
• 链 \(x+2y+5z\) 沿 \(x\) 的方向经过 \(x\) 一次，沿 \(y\) 的方向经过 \(y\) 两次，沿 \(z\) 的方向经过 \(z\) 五次，沿任意顺序。

Example 3.84 定向链的相加会消去定向相反的相邻边。

Exercise 3.85 自由定向原则：定向立方复形的同调群应与 \(k\)-体元的定向无关。对于下面的两个 \(2\)-体元，证明相邻公共边的消去和定向无关。

Proof：

\[\partial(\alpha-\beta) = f-a+g+e-f-d+c+b = -a+g+e-d+c+b. \]

即公共边 \(f\) 被消去了。

Example 3.86 在 \(\mathbb{R}^k\) 上，自由定向原则如何适用？

主要困难在于，\(k\)-体元的定向不再有类似 Example 3.83 的“自然的”全定向。

3.3.3 定向边界算子

Rule 3.87 在 \(\mathcal{R}^N\) 上，我们令 \(\mathbb{R}\) 上的标准定向为所有 \(1\)-体元的定向。

Definition 3.88（单位区间的边界）我们定义单位区间 \(E\subset \mathbb{R}\) 的边界为

\[\partial E = \begin{cases} 0, & E = \{m\}; \\ \{m+1\} - \{m\}; & E = [m,m+1]. \\ \end{cases} \]

Definition 3.89 设 \(\mathbb{Q}^k\subset \mathbb{R}^n\) 是 \(k\)-体元，\(E\) 是单位区间。则 \(Q^k\times E\subset \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\) 是 \(k\)-体元或 \((k+1)\)-体元，且边界算子定义为

\[\partial(Q^k\times E) := \partial Q^k\times E + (-1)^kQ^k\times \partial E. \]

Example 3.90 将 \(2\)-体元 \([0,1]^2\) 的边界用其基本面表示。

Proof：\(Q^1 = [0,1], e = [0,1]\)。

\[\begin{aligned} &\partial([0,1]\times [0,1]) \\=& \partial[0,1]\times [0,1] - [0,1]\times \partial[0,1] \\=& [0,1]\times \{0\} + \{1\}\times [0,1] - [0,1]\times \{1\} - \{0\}\times [0,1]. \end{aligned} \]

显然这四条边是顺时针排列的。

Exercise 3.91 将 \(3\)-体元 \(Q^3 = [0,1]^3\) 的边界用基本面表示。

Proof：\(Q^2 = [0,1]^2, e = [0,1]\)。

\[\begin{aligned} & \partial([0,1]^2\times [0,1]) \\ =& \partial([0,1]^2)\times [0,1] + [0,1]^2\times \partial[0,1] \\ =& ([0,1]\times \{0\} + \{1\}\times [0,1] - [0,1]\times \{1\} - \{0\}\times [0,1])\times [0,1] + [0,1]^2\times (\{1\}-\{0\}) \\ =& [0,1]\times \{0\}\times [0,1] + \{1\}\times [0,1]\times [0,1] - [0,1]\times \{1\}\times [0,1] - \{0\}\times [0,1]\times [0,1] \\ &+ [0,1]\times [0,1]\times \{1\} - [0,1]\times [0,1]\times \{0\}. \end{aligned} \]

前四项是四个侧面，后两项是上底面和下底面。

Definition 3.92（定向 \(k\)-链的边界）定向 \(k\)-链 \(S\) 的边界定义为

\[\partial S = \partial\left(\sum_i r_ia_i\right) := \sum_i r_i\partial a_i. \]

Lemma 3.93 设 \(Q^k\subset \mathbb{R}^n\) 是定向 \(k\)-链，\(E\subset \mathbb{R}\) 是 \(0\)-链或 \(1\)-链，\(Q^k\times E\subset \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\) 是 \(k\)- 链或 \((k+1)\)-链。则

\[\partial(Q^k\times E) := \partial Q^k \times E + (-1)^kQ^k\times \partial E. \]

Theorem 3.94（边界算子的乘积公式）记 \(C_k(\mathcal{R}^N)\) 为全体定向 \(k\)-链构成的群。对 \(a\in C_i(\mathcal{R}^n)\) 和 \(b\in C_j(\mathcal{R}^m)\) 以及 \(a\times b\in C_{i+j}(\mathcal{R}^{m+n})\)，有

\[\partial(a\times b) = \partial a\times b + (-1)^i a\times \partial b. \]

Proof：对 \(b\) 的维数归纳证明。由 Lemma 3.93 \(\dim b = 1\) 时已经成立。

\[\begin{aligned} & \partial(Q^k\times E\times A) \\ =& \partial(Q^k\times E)\times A + (-1)^{k+1}(Q^k\times E)\times \partial A \\ =& (\partial Q^k\times E + (-1)^kQ^k\times \partial E)\times A + (-1)^{k+1}(Q^k\times E)\times \partial A \\ =& \partial Q^k\times E\times A + (-1)^kQ^k\times (\partial E \times A - E\times \partial A) \\ =& \partial Q^k\times (E\times A) + (-1)^kQ^k\times \partial(E\times A). \end{aligned} \]

因此 \(b = A\) 成立 \(\Rightarrow\) \(b = E\times A\) 成立。

Theorem 3.95（双边界恒等式）\(\partial\partial = 0\)。

将 \((k+1)\)-体元表示为 \(k\)-体元和一条边的乘积 \(Q^{k+1} = Q^k\times E\)。

对链的维数进行归纳。对任意 \(1\)-链，显然有 \(\partial\partial E = 0\)。假设结论对任意 \(k\)-体元 \(Q^k\) 成立。则

\[\begin{aligned} & \partial\partial(Q^k\times E)\\ =& \partial(\partial Q^k\times E + (-1)^kQ^k\times \partial E) \\ =& \partial(\partial Q^k\times E) + (-1)^k\partial(Q^k\times \partial E) \\ =& \partial\partial Q^k\times E + (-1)^{k-1}\partial Q^k\times \partial E + (-1)^k(\partial Q^k\times \partial E + (-1)^kQ^k\partial\partial E) \\ =& (-1)^{k-1}(\partial Q^k\times \partial E - \partial Q^k\times \partial E) \\ =& 0. \end{aligned} \]

3.3.4 同调群

Example 3.96 在 Definition 3.44 中，两个 \(k\)-圈同调如果它们形成了 \((k+1)\)-链的边界。对于定向圈，同调的 \(1\)-圈有

\[\sum_{i=0}^2[i,i+1]\times(\{0\}-\{3\}) + \sum_{i=0}^2(\{3\}-\{0\})\times [i,i+1] \]

和

\[-\partial[1,2]^2 = [1,2]\times (\{2\}-\{1\}) + (\{1\}-\{2\})\times [1,2]. \]

Definition 3.97（\(k\) 阶同调群）定向立方复形 \(K\) 的 \(k\) 阶同调群定义为

\[H_k(K;R) := Z_k(K;R) / B_k(K;R) \]

其中 \(R\) 可能是 \(\mathbb Z\) 或 \(\mathbb Z_n(n>1)\)。

Example 3.98 在 Definition 3.97 的定义下重做 Exercise 3.63。

Proof：链群是

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D\rangle; \\ C_1 &= \langle a,b,c,d\rangle; \\ C_2 &= \langle \tau\rangle; \\ C_i &= 0, \forall i>2. \end{aligned} \]

其中 \(k\)-体元的定向是标准定向。链复形是

\[C_3 = 0\stackrel{\partial_3 = 0}\longrightarrow C_2\stackrel{\partial_2}\longrightarrow C_1\stackrel{\partial_1}\longrightarrow C_0\stackrel{\partial_0=0}\longrightarrow 0. \]

边界算子的矩阵为

\[\partial_1 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix};\quad \partial_2 = [1,1,-1,-1]^T. \]

\(0\) 阶和 \(1\) 阶同调群为

\[\begin{aligned} Z_0 &:= \ker\partial_0 = \langle A,B,C,D \rangle; \\ B_0 &:= \text{Im}\partial_1 = \langle B-A,C-B,D-C\rangle; \\ H_0 &:= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ Z_1 &:= \ker\partial_1 = \langle a+b-c-d \rangle; \\ B_1 &:= \text{Im}\partial_2 = \langle a+b-c-d\rangle; \\ H_1 &:= Z_1/B_1 = 0; \\ \end{aligned} \]

Exercise 3.99 在 \(R=\mathbb Z\) 的意义下重做 Exercise 3.64。

Solution：

（a）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle B-A,C-B,D-C\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A],[E]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,DA\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+DA \rangle; \\ B_1 &= 0; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AB+BC+CD+DA]\rangle; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

（b）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle B-A,C-B,D-C,E-D\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,DA,DE\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+DA \rangle; \\ B_1 &= 0; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AB+BC+CD+DA]\rangle. \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \]

（c）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E,F\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E,F \rangle; \\ B_0 &= \langle B-A,C-B,D-C,E-D,F-E\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,DA,DE,EF,FA\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+DA,-DA+DE+EF+FA \rangle; \\ B_1 &= 0; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[AB+BC+CD+DA],[-DA+DE+EF+FA]\rangle. \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ \end{bmatrix} \]

（d）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle B-A,C-B,D-C\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A],[E]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,DA\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+DA \rangle; \\ B_1 &= \langle AB+BC+CD+DA \rangle; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = 0; \\ C_2 &= \langle ABCD\rangle; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, M_{\partial_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

（e）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E \rangle; \\ B_0 &= \langle B-A,C-B,D-C,E-D\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,DA,DE\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+DA \rangle; \\ B_1 &= \langle AB+BC+CD+DA \rangle; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = 0; \\ C_2 &= \langle ABCD\rangle; \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}, M_{\partial_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

（f）

\[\begin{aligned} C_0 &= \langle A,B,C,D,E,F\rangle; \\ Z_0 &= \langle A,B,C,D,E,F \rangle; \\ B_0 &= \langle B-A,C-B,D-C,E-D,F-E\rangle; \\ H_0 &= Z_0/B_0 = \langle[A]\rangle; \\ C_1 &= \langle AB,BC,CD,DA,DE,EF,FA\rangle; \\ Z_1 &= \langle AB+BC+CD+DA,-DA+DE+EF+FA \rangle; \\ B_1 &= \langle AB+BC+CD+DA\rangle; \\ H_1 &= Z_1/B_1 = \langle[-DA+DE+EF+AF]\rangle. \\ Z_i &= 0, i>1; \\ B_i &= 0, i>1; \\ H_i &= 0, i>1. \\ \end{aligned} \]

\[M_{\partial_0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}, M_{\partial_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \]

Exercise 3.100 计算 Example 3.96 中定向立方复形的同调群。

Solution：

\[\begin{aligned} H_0 &= \langle[(0,0)]\rangle;\\ H_1 &= \langle[\partial[1,2]^2]\rangle; \\ H_i &= 0, i>1. \end{aligned} \]

Exercise 3.101 计算下面的立方复形的 Betti 数。

Solution：

\[\beta_0 = 1, \beta_1 = 6, \beta_2 = 0, \beta_3 = 0. \]

3.4 立方复形上的计算

3.4.1 微分形式

Definition 3.102（\(k\)-形式）立方复形上的 \(k\)-形式是一个线性函数 \(f: C_k\rightarrow \mathbb R\)，其中 \(C_k\) 是 \(k\)-链群。特别地，\(0\)-形式也称为常函数。

Exercise 3.103 证明 \(k\)-形式的值由它在全体标准定向 \(k\)-体元上的取值唯一确定。

Proof：任意 \(k\)-链都可以唯一表示为标准定向 \(k\)-体元的线性和，即

\[\forall S\in C_k, \exists \{r_i\}\subset \mathbb R, S = \sum_i r_ia_i. \]

其中 \(a_i\) 是全体 \(k\)-体元。所以

\[f(S) = f(\sum_i r_ia_i) = \sum_i r_if(a_i). \]

Example 3.104 一个立方复形上的 \(0\)-形式是函数 \(f: \mathbb Z^N\rightarrow \mathbb R\)，其中 \(N\) 是 Definition 3.1 定义的嵌入数。

Definition 3.105（立方复兴上的基本 \(k\)-形式）立方复形上的 \(1\)-形式 \(\text dx\) 是

\[\text dx(P) = \begin{cases} 1 & P = [n,n+1]\times \{m_2\}\times \dots\times \{m_N\}; \\ -1 & P = [n+1,n]\times \{m_2\}\times \dots\times \{m_N\}; \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} \]

对 \(2\)-体元 \(P\)，\(2\)-形式 \(\text dx\text dy\) 定义为

• \(\text dx\text dy(P) = 0\)，如果 \(P\) 的两条边不分别与 \(x\) 和 \(y\) 轴平行。
• 否则，\(\text dx\text dy(P) = +1\) 如果 \(P\) 是标准定向的；或 \(\text dx\text dy = -1\) 如果 \(P\) 不是标准定向的。

对 \(k>2\)，\(k\)-形式 \(\text dx\text dy\text dz\dots\) 同理。

Example 3.106 对 \(N=1\)，\(1\)-链 \([m,n] = \sum_{i=m}^{n-1}[i,i+1]\) 上的\(1\)-形式 \(\text dx\) 是

\[\text dx([m,n]) = \sum_{i=m}^{n-1} 1 = n-m = \int_{[m,n]}\text dx. \]

这个积分可以认为是 \(1\)-形式作用在 \(1\)-链上的结果：\(\text dx\) 是被积函数，\([m,n]\) 是积分区域。

Example 3.107 在 \(\mathbb R\) 上，任意 \(1\)-形式 \(f\) 都可以表示为 \(\text dx\) 的一个“倍数”：\(f = p\text dx\)。其中乘法是点乘，\(p\) 是 \(0\)-形式。这里写成 \(p\text dx\) 是有意义的，因为 \(1\)-形式的集合与 \(\mathbb Z^N\) 同构，而 \(p\) 和 \(\text dx\) 在每个点处都是实值。

\[f([m,n]) = (p\text dx)([m,n]) = \sum_{i=m}^{n-1}p(i)\text dx([i,i+1]) = \sum_{i=m}^{n-1}p(i). \]

Proposition 3.108 当 $ N=2$ 时，任意 \(1\)-形式 \(f\) 可表示为 \(f = p\text dx + q\text dy\)，其中 \(p\) 和 \(q\) 是常函数。

Proof：\(N=2\) 时，每个 \(1\)-体元可以表示为 \([n,n+1]\times \{m\}\) 或 \(\{n\}\times [m,m+1]\)。因此

\[\begin{aligned} \text dx(P) &= \begin{cases} 1 & P = [n,n+1]\times \{m\}; \\ -1 & P = [n+1,n]\times \{m\}; \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} \\ \text dy(P) &= \begin{cases} 1 & P = \{n\}\times [m,m+1]; \\ -1 & P = \{n\}\times [m+1,m]; \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} \end{aligned} \]

因此对任意定向 \(1\)-体元 \(P\)，以下二者之一成立：

\[\begin{aligned} \text dx(P) &= \pm 1, \text dy(P) = 0; \\ \text dy(P) &= \pm 1, \text dy(P) = 0. \\ \end{aligned} \]

因为 \(f\) 是 \(1\)-形式，所以它在 \(1\)-体元集合

\[L_x := \{[n,n+1]\times \{m\}: n,m\in \mathbb Z\} \]

上的值是唯一确定的。而因为 \(L_x\) 与 \(\mathbb Z^2\) 同胚，所以可定义 \(0\)-形式 \(p: \mathbb Z^2\rightarrow \mathbb R\) 为 \(p = f|_{L_x}\)。类似的也可以定义 \(q = f|_{L_y}\) 其中

\[L_y := \{\{n\}\times [m,m+1]: n,m\in \mathbb Z\}. \]

因此 \(f\) 在任意 \(1\)-体元 \(P\) 上的值是 \(p\text dx(P)\) 或 \(q\text dy(P)\)（此时另一个的值为 \(0\)）。故 \(p\text dx + q\text dy\) 和 \(f\) 在任意 \(1\)-体元上的取值相同。故也和 \(f\) 在任意 \(1\)-链上的取值相同。

3.4.2 外积

Definition 3.109（1-形式的外积）两个 \(1\)-形式的外积是 \(2\)-形式，定义为

\[(p\land q)(a\times b) := p(a)q(b) - p(b)q(a). \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 是两个 \(1\)-体元。

Example 3.110 外积定义的最简单的应用是

\[\text dx\land \text dy(a\times b) = \text dx(a)\text dy(b) \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 分别是 \(x\) 轴和 \(y\) 轴方向上的 \(1\)-体元。

Lemma 3.111 任意 \(1\)-形式 \(\text dx\) 满足 \(\text dx\land \text dx = 0\)。

Definition 3.112（\(k\)-形式的外积）\(p\)-形式 \(\varphi^p\) 和 \(q\)-形式 \(\psi^q\) 的外积是 \((p+q)\)-形式

\[(\varphi^p\land\psi^q)(Q) := \sum_{s\in S_{p+q}}(-1)^{\sigma(s)}\varphi^p\left(\prod_{i=1}^p I_{s(i)}\right)\psi^q\left(\prod_{j=p+1}^{p+q}I_{s(j)}\right), \]

其中 \(Q := \prod_{i=1}^p I_i\times \prod_{j=p+1}^{p+1} I_j\) 是 \((p+q)\)-体元，\(s\) 遍历所有 \(p+q\) 阶排列。

Lemma 3.113 外积有斜对称性

\[\varphi^p\land \psi^q = (-1)^{pq}\psi^q\land \varphi^p. \]

Exercise 3.114 证明 \(1\)-形式的外积有结合律。

Proof：

\[\begin{aligned} & ((p_1\land p_2)\land p_3)(I_1\times I_2\times I_3) \\ =& \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}(p_1\land p_2)(I_i\times I_j)p_3(I_k) \\ =& \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}(p_1(I_i)p_2(I_j)-p_1(I_j)p_2(I_i))p_3(I_k) \\ =& \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}p_1(I_i)p_2(I_j)p_3(I_k) - \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}p_1(I_j)p_2(I_i)p_3(I_k) \\ =&\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}p_1(I_i)p_2(I_j)p_3(I_k) - \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}p_1(I_i)p_2(I_k)p_3(I_j) \\ =& \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}p_1(I_i)(p_2(I_j)p_3(I_k) - p_2(I_k)p_3(I_j)) \\ =& \sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}p_1(I_i)(p_2\land p_3)(I_j\times I_k) \\ =& (p_1\land(p_2\land p_3))(I_i\times I_j\times I_k). \end{aligned} \]

3.4.3 外微分算子

Definition 3.115（外微分算子）\(0\)-形式 \(f\) 的外微分是 \(1\)-形式

\[\text df([n,n+1]) = f(n+1) - f(n). \]

Example 3.116 Definition 3.115 给出了微积分基本定理

\[\int_{[n,n+1]}\text df = f(n+1) - f(n). \]

Example 3.117 在 \(\mathbb R^2\) 中，考虑 \(2\)-体元 \([a,a+1]\times [b,b+1]\)，则有

\[\begin{aligned} \text df &= (\text d_xf, \text d_y f)\cdot(\text dx, \text dy); \\ \text d_xf([a,a+1]\times \{b\}) &:= f(a+1,b) - f(a,b); \\ \text d_yf(\{a\}\times [b,b+1]) &:= f(a,b+1) - f(a,b); \\ \end{aligned} \]

Exercise 3.118 外微分算子的定义式可以写作 \(\text df = f\partial\)。解释这个公式和微积分中 \(\text df = f'\text dx\) 的关系。

Proof：因为

\[\text df([n,n+1]) = f(n+1)-f(n) = f(\{n+1\}-\{n\}) = f(\partial[n,n+1]), \]

所以 \(\text df = f\partial\)。

如果我们把 \(\text df\) 在区间上的作用看作关于 \(\text df\) 的积分，则外微分算子可看作 \(f\) 在离散定义域下的“导数”。

Definition 3.119（\(1\)-形式的外微分）\(1\)-形式 \(\varphi\) 的外微分算子在 \(2\)-体元 \(\tau\) 上的值是

\[\text d\varphi(\tau) = (\varphi(c) - \varphi(a)) - (\varphi(b) - \varphi(d)). \]

Lemma 3.120 设 \(\varphi = p\text dx + q\text dy\) 是 \(1\)-形式，则

\[\text d(p\text dx + q\text dy) = \text dp\land \text dx + \text dq \land \text dy. \]

Proof：在 Definition 3.119 所示的 \(2\)-体元 \(\tau\) 上，\(p\) 和 \(q\) 分别在 \(y\) 和 \(s\) 方向上是 \(0\)-形式。因此

\[\text dp = (\varphi(b) - \varphi(d))\text dy, \quad \text dq = (\varphi(c) - \varphi(a))\text dx. \]

因此

\[\begin{aligned} \text d\varphi &= (\varphi(c) - \varphi(a))\text dx\text dy + (\varphi(b) - \varphi(d))\text dy\text dx \\ &= \text dp\text dx + \text dq\text dy = \text dp\land\text dx + \text dq\land\text dy. \end{aligned} \]

Exercise 3.121 利用 Lemma 3.120 证明 Green 定理。

Proof：设 \(f(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))\) 是 \(2\)-形式。

\[\begin{aligned} & \int_{\partial D}(P\text dx + Q\text dy) \\ =& (P\text dx + Q\text dy)(\partial D) \\ =& f(\partial D) \\ =& \text df(D) \\ =& \text d(P\text dx + Q\text dy)(D) \\ =& (\text dP\text dx + \text dQ\text dy)(D) \\ =& \int_D(P'\text dy\text dx + Q'\text dx\text dy) \\ =& \int_D(-P'\text dx\text dy + Q'\text dx\text dy) \\ =& \int_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\text dx\text dy. \end{aligned} \]

Definition 3.122（\(k\)-形式的外微分算子）\(k\)-形式 \(\varphi\) 的外微分算子是 \((k+1)\)-形式 \(\text d\varphi\in C^{k+1}\)，定义为将 \(\text d\) 作用于它的所有 \(0\)-形式上。

Theorem 3.123（Stokes 定理）外微分算子是边界算子的对偶：

\[\partial^* = \text d. \]