P17233 [Algo Beat Contest 017 B] 线性筛 题解

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题意：给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)，每次进行一次如下操作：

• 将数组中下标为完全立方数的数字同时移除；
• 随后保持原有顺序重新编号。

求将数组清空的操作次数以及每次操作移除的数。

\(1\le n\le 10^6\)。

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考虑对每一个 \(1\le i\le n\) 计算出 \([1,i]\) 之间有多少个完全立方数，记为 \(pre_i\)；以及计算 \(i\) 在第几轮操作被删除，记为 \(cnt_i\)。

首先，\(pre_i\) 的转移显然，只需要判断 \(i\) 是不是完全立方数再加上 \(pre_{i-1}\) 即可，即：\(pre_i=pre_{i-1}+\operatorname{is\_cube(i)}\)，其中 \(\operatorname{is\_cube}(i)=\begin{cases}1,& i是完全立方数\\ 0,& i不是完全立方数\end{cases}\)。现在思考：如何计算 \(cnt_i\)？我们观察到：在进行一次操作后，下标为 \(i\) 的数会位移到下标 \(i-pre_i\)，直到 \(i-pre_i\) 是完全立方数为止，则在原数组中下标为 \(i\) 的数在下标为 \(i-pre_i\) 的数被删除后一轮紧接着被删除，即：\(cnt_i=cnt_{i-pre_i}+1\)，需要特判：如果 \(i\) 是完全立方数，显然 \(cnt_i=1\)。

根据上面的方法进行递推，求出每一个 \(pre_i,cnt_i\) 后，将原数组清空的操作次数显然为 \(\max_{i=1}^n cnt_i\)，然后对于所有 \(1\le i\le n\)，将 \(a_i\) 在第 \(cnt_i\) 轮输出即可。

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