CF505B Mr. Kitayuta's Colorful Graph 题解

Luogu Link

\(\textbf{\textit{Problem}}\)

给定 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，每条边有颜色 \(c_i\)，共有 \(q\) 组询问 \((u,v)\)，问题为满足下面条件的颜色数量：在 \(u,v\) 之间的所有路径中，存在一条路径，使得这条路径上所有边的颜色都是这个颜色。

\(1\le n,m,q\le 100\)，\(1\le c_i\le m\)。

\(\textbf{\textit{Idea}}\)

注意到 \(n,m\le 100\) 的数据范围，于是我们可以想到：对于每一次询问，直接从 \(u\) 开始做 DFS，求出到每个节点的答案。

现在问题在于：如何计算答案？我们可以在 DFS 的过程中对每个节点存储一个 \(book_{i,j}\)，表示所有到节点 \(i\) 的路径中，是否存在某一条路径上所有边的颜色均为 \(j\)。则很容易想到 \(book\) 的转移方程：(下面 \(u\) 表示当前节点，\(v\) 表示转移的节点，\(c\) 表示连接 \(u,v\) 的边的颜色)

\[book_{v,i}=book_{v_i}\lor (book_{u,i}\land [c=i]) \]

如果直接对每条端点相同但颜色不同的边做上面的转移，我们会发现节点的访问标记会很混乱（因为存在一个节点被多次更新的情况），于是我们考虑将所有端点相同但颜色不同的边并在一起，将每条边的颜色 \(c\) 改为该条边并后表示的颜色集合 \(C\)。上面的转移方程就可以改成：（\(C\) 表示连接 \(u,v\) 的边的颜色集合）

\[book_{v,i}=book_{v_i}\lor (book_{u,i}\land C_i) \]

最后答案显然就是 \(book_{v,i}\) 中值为 \(\texttt{true}\) 的位数了。

让我们分析一下时间复杂度：对于 \(q\) 次询问，每次做 DFS（时间复杂度为 \(\mathcal O(n+m)\)），每次 DFS 过程中需要进行 \(\mathcal O(m)\) 的转移，因此时间复杂度为 \(\mathcal O(qm(n+m))\)，在本题中 \(n,m,q\le 100\) 的数据范围下完全可以通过。

\(\textbf{\textit{Code}}\)

Submission

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;

const int N = 105, M = 205;

int n, m, q, u, v;
bool book[N][M], col[N][N][M];
vector<int> g[N];

void dfs(int x) {
	for(int y : g[x]) {
		bool flag = false;
		for(int i = 1; i <= m; i++) {
			if((book[x][i] && col[x][y][i]) && !book[y][i]) flag = true; 
			book[y][i] |= (book[x][i] && col[x][y][i]);
		}
		if(!flag) continue;
		dfs(y);
	}
}

void solve() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
		g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
		col[u][v][w] = col[v][u][w] = true;
	}
	cin >> q;
	while(q--) {
		cin >> u >> v;
		for(int i = 1; i <= n; i++) 
			for(int j = 1; j <= m; j++)
				book[i][j] = (i == u ? true : false);
		dfs(u);
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= m; i++) ans += book[v][i];
		cout << ans << endl;
	}
} 

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
	
	int T = 1;
//	cin >> T;
	while(T--) solve(); 
	
	return 0;
}