【树的直径】学习笔记

树的直径

定义

在一棵树中，若两点 \(P,Q\) 构成的路径长度最长，则称 \(P,Q\) 构成的路径长度为这棵树的直径（Diameter）。

为方便，后面记 \(D(l,r)\) 表示 \(l,r\) 两点之间构成的路径是直径，长度为 \(dis(l,r)\)。

求法

（1）两次 DFS

我们可以采用两次 DFS 的方法求一棵树的直径。

具体的，我们可以从根节点出发，先做一次 DFS，得到距离根节点最远的点 \(P\)；再从点 \(P\) 出发做一次 DFS，得到距离点 \(P\) 最远的点 \(Q\)。此时 \(P,Q\) 两点在树上构成的路径即为这棵树的直径。

具体证明可以参照 OI-wiki。

void dfs(int x, int fa) {
	for(int y : g[x]) {
		if(y == fa) continue;
		dis[y] = dis[x] + 1;
		dfs(y, x);
	}
}

void solve() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v; cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
	}
	dfs(1, 0);
	int u = 0, ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(u == 0 || dis[i] > dis[u]) u = i;
	}
	memset(dis, 0, sizeof dis);
	dfs(u, 0);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = max(ans, dis[i]);
	}
	cout << ans << endl;
}

（2）树形 DP

我们还可以采用树形 DP 的方法求一棵树的直径。

设 \(dp_{u}\) 表示在以 \(u\) 为根节点的子树中，从 \(u\) 出发的最长路径长度。根据定义可得状态转移方程：\(dp_u=\max\{dp_u,dp_v+w(u,v)\}\)。

由于 \(u\) 可能不是直径的某个端点，所以我们需要考虑直径经过 \(u\) 的情况。那么我们可以令 \(u\) 为直径的中转站，那么直径 \(d\) 的求法就是，在 \(dp_u\) 利用 \(dp_v\) 更新前，\(d=\max\{d,dp_u+dp_v+w(u,v)\}\)。

（代码实现先咕咕咕）

两种求法的对比

求法	优点	缺点	时间复杂度
两次 DFS	方便记录路径	无法处理带有负权边	\(\mathcal O(n)\)
树形 DP	可以处理负权边	实现较复杂	\(\mathcal O(n)\)

性质

1. 显然，一棵树有多条直径，每条直径的长度相等；
2. 若不存在非正权边，则所有直径的中点必然重合。

证明：如图，设两条中点不重合的直径为 \((s,t)\) 和 \((s',t')\)，中点分别为 \(x\) 和 \(x'\)。则根据中点可得：\((s,x)=(x,t)=(s',x')=(x',t')\)，则有：\((s,t')=(s,x)+(x,x')+(x',t')>(s,t)\)，与直径矛盾，因此假设不成立，所有直径的中点重合。

例题选讲

B4016 树的直径

模板题，参考上面部分。

P3304 [SDOI2013] 直径

第一个问题直接两次DFS即可。难点在于第二个问题。我们要如何求出所有直径都经过的边数？

假设我们求出的直径是 \(D(l,r)\)，长度为 \(d\)。若存在另一条直径，则它一定会经过 \(D\)。假设这条直径经过点 \(i\in D\)，且与 \(D\) 重叠部分为 \(sD(i,l)\)，另一端点为 \(p\)，则其一定满足：\(dis(p,i)=dis(r,i)\)。

因此，我们可以遍历直径上的每个点，求出距它最远的点到它的距离：

• 若这个距离等于它到右端点的距离，则该点右侧的所有边都不可能被所有直径经过，将答案区间的上界缩小至当前点；
• 若当前点出发的最远距离等于它到左端点的距离，则这条直径就是最后一条直径，该点左侧的所有边都不可能被所有直径经过，将答案区间的下界增大至当前点，并直接退出遍历。

最后输出答案区间的上下界之间的边数即可。

P2195 HXY造公园

在操作二中，贪心地，每次连接这两个联通块的直径的中点一定是最优的。因此我们只需要在一开始的时候求出每个联通块的直径，对每个联通块记录 \(d_u\)（根节点为 \(u\)）表示它的直径。对于每次操作一输出 \(d_{find(x)}\) 即可；对于每次操作二合并两个联通块，并且

\[d_{find(x)}\leftarrow\max\left\{{d_{find(x)},d_{find(y)},\left\lceil \dfrac{d_{find(x)}}{2}\right\rceil+\left\lceil\dfrac{d_{find(y)}}2\right\rceil+1}\right\} \]

即可。

P5895 [IOI 2013] dreaming 梦想

这题与上一题类似，只不过这题中的边权可能不为 \(1\)。还是同样，贪心地，连接两棵树的直径中点所得到的新树直径一定是最小的。因此我们可以预处理出每棵树的直径与半径，考虑答案的构成部分。我们发现，最优的连接方法是：把所有树都连接到一棵树上，这样彼此两棵树的路径边数不超过 \(2\) 条。直径的构成只可能属于如下三种：

1. 原本所有树的直径中的最大值；
2. 原本所有树的半径的最大值、次大值与 \(L\) 之和；
3. 原本所有树的半径中次大值、第三大值与 \(2L\) 之和。

我们只需要在上面三种构成中取最大值即可。