BZOJ:4031: [HEOI2015]小Z的房间

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Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

 

一眼轮廓线dp

然而为啥搜出来的题解都是高斯消元啊……

那就写高斯消元好了。

矩阵树定理谁都知道：a[i][i]值为 i 的度数，对于i≠j，a[i][j]有边相连时为-1，否则为0。把这个矩阵删掉某一行和某一列以后的行列式值就是生成树数量。

行列式相信也谁都会求：转上三角以后对角线上值的乘积就是了。

窝的瓜呀，模数有毒，不能求逆元。

想想我们逆元是用来干啥的，通过线性变换把某一行变成0。

线性变换？变成0？长得有点像欧几里德算法？

咦，那就像求gcd那样，辗转相除一波，就可以变0惹（当然复杂度相应地变成了$n^{3}logn$）。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MN 101
using namespace std;

const int MOD=1e9;
inline int mi(int a,int b){
    int mmh=1;
    while (b){
        if (b&1) mmh=1LL*mmh*a%MOD;
        b>>=1;a=1LL*a*a%MOD;
    }
    return mmh;
}
const int fx[4]={1,-1,0,0},fy[4]={0,0,1,-1};
int n,m,num[11][11],NUM=0,map[MN][MN];
char s[11][11];
inline void M(int &x){while(x>=MOD)x-=MOD;while(x<0)x+=MOD;}
inline int Gauss(){
    int i,j,k,s,f=1;

    for (i=1;i<NUM;i++){
        for (j=i+1;j<NUM;j++){
            int x=map[i][i],y=map[j][i],t;
            while(y){
                t=x/y;x%=y;swap(x,y);
                for (k=i;k<=NUM;k++) M(map[i][k]-=1LL*t*map[j][k]%MOD);
                for (k=i;k<=NUM;k++) swap(map[i][k],map[j][k]);
                f^=1;
            }
        }
        if (!map[i][i]) return 0;
    }
    s=1;
    for (i=1;i<NUM;i++) s=1LL*s*map[i][i]%MOD;
    return f?s:(MOD-s)%MOD;
}
int main(){
    register int i,j,k;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++)
    for (scanf("%s",s[i]+1),j=1;j<=m;j++)
    if (s[i][j]=='.') num[i][j]=NUM++;
    for (i=1;i<=n;i++)
    for (j=1;j<=m;j++)
    if (s[i][j]=='.')
    for (k=0;k<4;k++)
    if (s[i+fx[k]][j+fy[k]]=='.') map[num[i][j]][num[i][j]]++,map[num[i][j]][num[i+fx[k]][j+fy[k]]]=map[num[i+fx[k]][j+fy[k]]][num[i][j]]=MOD-1;
    
    printf("%d\n",Gauss());
}