积性函数与狄利克雷卷积（未完待更）
积性函数
定义
积性函数是指一个定义域为正整数 $N$ 的算术函数 $f(n)$ ， 有如下性质：$f(1) = 1$ ，且 $\forall a,b \in \mathbb{N}^{+} \quad $ 且 $\quad \gcd(a,b) = 1$ ，有 $f(ab) = f(a) f(b)$。
若对于任意的 $a,b$ ， $f$ 均满足上述性质，则称此函数为完全积性函数。
积性函数举例：
- $\varphi (n)$－欧拉$\varphi$函数，计算与$n$ 互质的正整数之数目-
\(\mu (n)\)－默比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
-
\(\gcd(n,k)\) －最大公因数，当 \(k\) 固定的情况
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\(\sigma _{k}(n)\) - 除数函数，\(n\) 的所有正因数的 \(k\) 次幂之和，当中 \(k\) 可为任何复数。在特例中有：
\(\sigma_0(n) = d(n)\) - \(n\) 的正因数数目
\(\sigma _{1}(n) = \sigma (n)\) - \(n\) 的所有正因数之和
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\(I(n)\) －不变的函数，定义为 \(I(n) = 1\) （完全积性）
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\(Id(n)\) －单位函数，定义为 \(Id(n) = n\) （完全积性）
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\(Id_k(n)\) －幂函数，对于任何复数、实数 \(k\)，定义为 \(Id_k(n) = n^k\) （完全积性）
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\(\varepsilon(n)\) －定义为：若 \(n = 1，\varepsilon(n) = 1\)；若 \(n > 1，\varepsilon(n) = 0\) 。有时称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
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\((n/p)\) －勒让德符号，\(p\) 是固定质数（完全积性）
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\(\lambda(n)\) －刘维尔函数，关于能整除 \(n\) 的质因子的数目
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\(\gamma(n)\) - 定义为 \(\gamma(n) = (-1) ^ {\omega(n)}\)，在此加性函数 \(\omega(n)\) 是不同能整除n的质数的数目
性质
积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。
即是说，若将 $n$ 表示成质因数分解式如 ${p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}} \cdots {p_{k}}^{a_{k}}$，则 $f(n) = f({p_{1}}^{a_{1}})f({p_{2}}^{a_{2}}) \cdots f({p_{k}}^{a_{k}}) $。
若f为积性函数且 $f(p^{n}) = f(p)^{n}$，则 $f$ 为完全积性函数。
那么，这玩意跟狄利克雷卷积有什么关系呢？
这里有一条：两个积性函数的狄利克雷卷积必定是积性函数。因此，以卷积为群的运算，所有积性函数组成了一个子群。
常见积性函数筛法
注意到积性函数有一条十分重要的性质：任意积性函数都可以用线性筛 \(O(n)\) 求得 。
不知道线性筛的，请出门右转。
Möbius 函数
定义
莫比乌斯函数（$M\ddot{o}bius$ 函数） $\mu$ 是指以下的函数：
设正整数 $N$ 按照算数基本定理分解质因数为 $N = {p_{1}}^{a_{1}}{p_{2}}^{a_{2}} \cdots {p_{m}}^{a_{m}}$ ，定义函数：
$$\mu(N) = \begin{cases}0 & \exists i \in \left[1,m \right] \ ,c_i > 1 \\ 1 & m\equiv 0\pmod{2} \ ,\forall i \in \left[1,m\right] \ ,c_i = 1 \\ -1 & m\equiv 1\pmod{2} \ ,\forall i \in \left[1,m\right] \ ,c_i = 1\end{cases}$$
注：若 \(\mu(a) = 0\) ，则 \(a\) 是某个完全平方数的整数倍。
$M\ddot{o}bius$ 函数也可表示为以下形式：
$$\mu(N) = \delta^{\Omega(N)}_{\omega(N)} \lambda(N)$$
其中 $\delta$ 是 $Kronecker$ 符号， $\lambda(N)$ 是刘维尔函数， $\omega(N)$ 是不同的素因子的数量 $Ñ$ ，和 $\Omega(N)$ 是素因子数 $Ñ$，具有多重性计数。（摘自百度）
看不懂是不是，我也看不懂，\(\cdots\) 有兴趣的读者可以自己上百度了解了解。
函数的前 $50$ 个值如下：
性质
- $M\ddot{o}bius$ 函数是积性的（即，只要 $\gcd(a,b) = 1$，$\mu(ab) = \mu(a) \mu(b)$）-
\(\sum_{d \mid N}\mu(d) = \begin{cases}1 & n = 1\\ 0 & n \ne 1\end{cases}\)
上述等式可推出重要的莫比乌斯反演公式，并且是 \(\mu\) 在乘法和算术函数理论中具有相关性的主要原因。
\(\mu(n)\) 在组合学中的其他应用与组合群和组合枚举中 \(Pólya\) 枚举定理的使用有关。（摘自百度，这些内容当然现在不会写，以后有空再写）
