7.5小学期基础语法记录：二分搜索

C++ 二分搜索全解笔记

一、二分搜索基本原理

二分搜索（Binary Search）是一种在有序数组中查找目标值的算法，时间复杂度为 O(log n)。其核心思想是：

• 每次取中点，与目标值比较，缩小搜索区间。

基本流程：

int binarySearch(const vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid;
        else if(nums[mid] < target)
            left = mid + 1;
        else
            right = mid - 1;
    }
    return -1; // not found
}

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二、二分搜索常用变种

1. 查找第一个大于等于 target 的位置

int lower_bound(const vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while(left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] < target)
            left = mid + 1;
        else
            right = mid;
    }
    return left;
}

2. 查找第一个大于 target 的位置

int upper_bound(const vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while(left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] <= target)
            left = mid + 1;
        else
            right = mid;
    }
    return left;
}

3. 查找最后一个小于等于 target 的位置（衍生）

int last_leq(const vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1, ans = -1;
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] <= target) {
            ans = mid;
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return ans;
}

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三、STL 中的二分工具

引入头文件：

#include <algorithm>

常用函数：

bool binary_search(begin, end, target);         // 存在性判断
auto it = lower_bound(begin, end, target);      // ≥ target
auto it = upper_bound(begin, end, target);      // > target
auto range = equal_range(begin, end, target);   // 等于 target 的区间 [first, second)

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四、浮点数二分模板（带精度控制）

double binary(double l, double r) {
    while(r - l > 1e-6) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) r = mid; // check 按照题意算方向
        else l = mid;
    }
    return l;
}

适用于数值逼近类问题，如最大长度/最小时间等连续空间搜索。

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五、常见应用场景

应用场景	示例
查找目标值	Leetcode 704. Binary Search
插入位置	Leetcode 35. Search Insert Position
峰值问题	Leetcode 162. Find Peak Element
区间最大值	Leetcode 875. Koko Eating Bananas
时间/长度逼近	浮点二分（剪绳子、油漆工问题）

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六、注意事项

1. 数组必须有序：否则搜索结果错误。
2. 防止溢出：使用 mid = left + (right - left) / 2
3. 无限循环风险：需确保 left/right 每轮都变化
4. 开闭区间区别：如 left < right vs left <= right
5. 不同返回含义：查找值 vs 查找位置要明确需求

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七、总结模板对比

模板	目标	区间写法	停止条件	判断分支
标准搜索	是否存在	[l, r]	l <= r	== target
lower_bound	第一个 ≥ target	[l, r)	l < r	nums[mid] < target
upper_bound	第一个 > target	[l, r)	l < r	nums[mid] <= target

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如需刷题推荐题单，可以继续提供目标方向（基础/难题/浮点/模板题），我可进一步补充。