一类排列计数dp

适用于一类并不在意其具体数值，只在意其大小关系的计数问题，比如逆序对。适用面并不是很广。

此时我们可以这么考虑 dp：

设 \(f_{i}\) 表示我们考虑一个 \(1\sim i\) 的排列，满足某种性质的方案数。

转移我们考虑位置 \(i+1\) 为 \(x\)，然后将前面 \(\ge x\) 的数都加一。这样就可以将 \(1\sim i\) 的排列变为 \(1\sim i+1\) 的排列了。

并且不难发现这样的加一不会影响前面已填的数的大小关系。

例题

AT_dp_t Permutation

设 \(f_{i,j}\) 表示用 \([1,i]\) 填位置 \(1\sim i\)，最后一个位置填 \(j\) 的方案数。

• \(s_{i-1}\) 为 >，设 \(i-1\) 位置上填 \(k\)，则 \(k\) 分为两种情况：

若 \(k<j\)，不会加，且不满足 \(k>j\)，无法转移。若 \(k\ge j\)，会加，则满足 \(k'=k+1>j\) 即可，即 \(k\ge j\)。

所以 \(f_{i,j}=\sum\limits_{k\ge j}f_{i-1,k}\)。

• \(s_{i-1}\) 为 <，类似的，\(f_{i,j}=\sum\limits_{k<j} f_{i-1,k}\)。

Cnoi2021 未来试题

设 \(f_{i,j}\) 表示考虑前 \(i\) 个数，其逆序对数量取模 \(k\) 为 \(j\) 的方案数。

则转移枚举第 \(i+1\) 个位置是什么。如果第 \(i+1\) 个位置是 \(x\) 则对逆序对的贡献是 \(i-x+1\)。

\[f_{i,j}\to f_{i+1,(j+(i-x+1))\bmod k},x\in [1,i+1] \]

最终答案为 \(f_n\)。

然后不难发现 \(f_{i,j}\) 影响的一定是 \(O(1)\) 个区间，差分维护即可，复杂度 \(O(nk)\)。

观察这个转移式子，可以发现：

• 对于 \(f_{i+1,p}\)，它会被恰好 \(i+1\) 个 \(f_{i,j}\) 转移到。
• 当 \(i=k-1\) 时，\(f_{i,j}\) 恰好转移到了 \(f_{i+1}\) 中的每个状态，相当于全局加，所以 \(f_{k}\) 只有一个值。

于是不难发现，当 \(i\ge k\) 时，\(f_{i}\) 都只有一个值。所以当 \(i\ge k\) 时直接用这个值转移到下一个值即可。

复杂度 \(O(n+k^2)\)。

USACO21DEC HILO P

设 \(f_{i,j,HI/LO}\) 为 \([1,i+j]\) 填前 \(i+j\) 个位置，其中有 \(i\) 个 \(\le x\)，\(j\) 个 \(>x\)，最后一个询问的答案是 HI/LO 的方案数。

\(g_{i,j,HI/LO}\) 为所有方案的 HILO 个数之和。

考虑转移。

• 对于 \(f_{i,j,HI}/g_{i,j,HI}\)，有三种情况：

1. 上一个是 HI，这一个是 LO 但是被忽略了。

\[f_{i,j,HI}\gets f_{i-1,j,HI}\times (i-1) \]

\[g_{i,j,HI}\gets g_{i-1,j,HI}\times (i-1) \]

原有 \(i-1\) 个 \(\le x\) 的数，新的数选择 \([1,i-1]\) 都可以做到被忽略，可选 \(i-1\) 是因为原本的 \(i-1\) 加一之后会变为 \(i\)，比 \(i-1\) 大。

2. 上一个是 LO，这一个是 HI 且不能被忽略。

\[f_{i,j,HI}\gets f_{i,j-1,LO} \]

\[g_{i,j,HI}\gets g_{i,j-1,LO} \]

此时只能选择 \(i+1\) ，否则大了被忽略，小了就不是 HI 了。

3. 上一个是 HI，这一个是 HI，是否被忽略不重要。

\[f_{i,j,HI}\gets f_{i,j-1,HI}\times j \]

\[g_{i,j,HI}\gets g_{i,j-1,HI}\times j \]

选择 \([i+1,i+j]\) 都可以，选择 \([1,i]\) 就不是 HI 了。

• 对于 \(f_{i,j,LO}/g_{i,j,LO}\)：

1. 前一个是 LO，这一个是 HI 但是被忽略了：

\[f_{i,j,LO}\gets f_{i,j-1,LO} \times (j-1) \]

\[g_{i,j,LO}\gets g_{i,j-1,LO}\times (j-1) \]

2. 前一个是 HI，这一个是 LO 且不能被忽略：

\[f_{i,j,LO}\gets f_{i-1,j,HI} \]

\[g_{i,j,LO}\gets g_{i-1,j,HI}+f_{i-1,j,HI} \]

注意这个地方要算贡献。

3. 前一个是 LO，这一个是 LO，是否被忽略不重要。

\[f_{i,j,LO}\gets f_{i-1,j,LO}\times i \]

\[g_{i,j,LO}\gets g_{i-1,j,LO}\times i \]

初始化：\(f_{1,0,LO}=f_{0,1,HI}=1\)。

答案：\(g_{x,n-x,LO}+g_{x,n-x,HI}\)。