差分约束系统学习笔记

用于解决 \(n\) 个变量有 \(m\) 个形如 \(x_i\le x_j+k\) 的限制的解。

发现这个限制和最短路中 \(dis_v\le dis_u+w\) 的三角不等式很相像，考虑将 \(x_i,x_j\) 看作两个点，然后连一条边象征这个限制（具体怎么连后面会说），这样跑最短路之后就满足所有限制了。

不难发现对于一组解，将其整体加上 \(d\) 都是满足要求的。

所以题目问法一般有两种：要求 \(x_i\le a_i\)，求最大的解。或者 \(x_i\ge a_i\)，求最小的解。

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先考虑前者。

然后我们考虑建一个虚点 \(x_0\)，然后连一条 \(x_0\to x_i\) 边权为 \(a_i\) 的边，相当于增加了 \(n\) 条限制 \(x_i\le x_0+a_i\)。

若我们令 \(x_0=0\) 就能够满足条件，具体来讲就是让 \(x_0\) 作为源点，\(dis=0\)。

然后对于一条限制 \(x_i\le x_j+k\)，我们建一条 \(x_j\to x_i\) 的边，边权为 \(c\)。

然后我们以虚点为源点跑一遍单源最短路，跑出来的就是最大解。

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然后考虑后者，还是考虑先建立虚点 \(x_0\)，然后连一条 \(x_0\to x_i\) 边权为 \(a_i\) 的边，不过这条边的含义是 \(x_i\ge x_0+a_i\)。

而这满足的是最长路的三角不等式 \(dis_v\ge dis_u+w\)。

于是我们考虑 \(x_i\le x_j+k\) 这条限制怎么转化满足最长路的三角不等式。两边取反之后移项转化为 \(x_j\ge x_i-k\)。

所以连一条 \(x_i\to x_j\) 的边，边权为 \(-k\) 即可。

然后我们以 \(x_0\) 为源点，跑一遍单源最长路即可。

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跑最短路的时候需要注意负环，跑最长路的时候需要注意正环。

不难发现这两种情况化简之后都是矛盾的，即无解。

所以需要先用 SPFA 判负环，复杂度最坏是 \(O(n^2)\) 的。

而这也延伸出一些题目，比如改变变量来避免负权边（AGC056C），缩点来避免环（糖果，虽然这题并没有负权边）。