排列组合学习笔记

一些可以记的。

插板法

壹

现在有 \(n\) 个完全相同的元素，要求分为 \(k\) 组，每组不可为空，问有多少种分法？

相当于将 \(k-1\) 块版插入到 \(n-1\) 个空。

答案为 \(\begin{pmatrix}n-1 \\k-1\end{pmatrix}\)。

本质是求 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\) 的正整数解的组数。

贰

现在有 \(n\) 个完全相同的元素，要求分为 \(k\) 组，每组可为空，问有多少种分法？

等价于借来 \(k\) 个元素，在 \(n+k\) 个元素的 \(n+k-1\) 个空里插板。

答案为 \(\begin{pmatrix}n+k-1 \\k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+k-1 \\n\end{pmatrix}\)。

本质是求 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\) 的非负整数解的组数（要求 \(x_i\ge 0\)）

叁

现在对于每组至少要分到 \(a_i\) 个元素。问有多少种分法？

本质是求 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\) 的解的个数，需满足 \(x_i\ge a_i\)。

答案为 \(\begin{pmatrix}n-\sum a_i +k-1 \\n-\sum a_i\end{pmatrix}\)。

肆

\(1\sim n\) 这 \(n\) 个自然数中选 \(k\) 个，这 \(k\) 个数中任何两个数都不相邻的组合有多少种？

答案为 \(\begin{pmatrix}n-k+1 \\k\end{pmatrix}\)。

AI 的证明（我无法看懂，也不确定是否正确）：

首先转化为数学问题：将 \(n-k\) 个无差异的苹果分到 \(k+1\) 个编了号的盒子里面。

也就是用 \(k\) 块隔板把 \(n-k+2\) 个排成直线的苹果隔开，共有\(\begin{pmatrix}n-k+1 \\k\end{pmatrix}\) 中方法。

二项式定理

壹

\[(a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}a^{n-i}b^i \]

证明可以利用 \(\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1 \\k\end{pmatrix}\)。

贰

二项式定理的多项式形式：

设 \(n\) 为正整数，\(x_i\) 为实数：

\[(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_t)^n=\sum\limits_{满足 n_1+\cdots+n_t=n 的非负整数解} \begin{pmatrix}n \\n_1,n_2,\cdots,n_t\end{pmatrix}x_1^{n_1}x_2^{n^2}\cdots x_{t}^{n_t} \]

其中 \(\begin{pmatrix}n \\n_1,n_2,\cdots,n_t\end{pmatrix}\) 是多项式系数，它的性质为：

\[\sum \begin{pmatrix}n \\n_1,n_2,\cdots,n_t\end{pmatrix} = t^n \]

二项式反演

设 \(f_n\) 为恰好使用 \(n\) 个不同元素形成特定结构的方案数，\(g_n\) 表示从 \(n\) 个不同元素中选出 \(i\ge 0\) 个元素形成特定结构的总方案数量。

有 \(g_{n}=\sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} f_i\)。

若已知 \(g\) 求 \(f\)，则：\(f_n=\sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} (-1)^{n-i}g_i\)。

组合数性质

壹

\[\begin{pmatrix}n \\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n \\n-m\end{pmatrix} \]

贰

\[\begin{pmatrix}n \\k\end{pmatrix}=\dfrac{n}k{}\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix} \]

叁

\[\begin{pmatrix}n \\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1 \\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1 \\m-1\end{pmatrix} \]

肆

\[\begin{pmatrix}n \\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\1\end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix}n \\n\end{pmatrix}=\sum\limits_{i=0}^n\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}=2^n \]

伍

比较重要。二项式定理的特殊情况。

\[\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}=[n=0] \]

陆

二项式定理的另一种特殊情况。

\[\sum\limits_{i=0}^m\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m \\m-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m+n \\m\end{pmatrix}(n\ge m) \]

柒

拆组合数的式子：

\[\sum\limits_{i=0}^n\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}2n \\n\end{pmatrix} \]

捌

\((6)\) 中特殊情况，取 \(n=m\)：

\[\sum\limits_{i=0}^ni\begin{pmatrix}n \\i\end{pmatrix}=n2^{n-1} \]

玖

\[\sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix}i \\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1 \\k+1\end{pmatrix} \]

拾

\[\sum\limits_{i=0}^n \begin{pmatrix}n-i \\i\end{pmatrix}=F_{n+1} \]

\(F\) 是斐波那契数列。