狄利克雷卷积

学莫反前的铺垫。

前置知识

前置知识 1：数论函数与积性函数

• 数论函数定义：定义域为 \(\mathbb{N_+}\) 的函数。

• 积性函数定义：对于一个数论函数 \(f(x)\)，若 \(\forall a,b\in \mathbb{N_+},a\perp b\)，都有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 为积性函数。

特别的，若 \(\forall a,b\in \mathbb{N_+}\)，都有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 为完全积性函数。

• 积性函数的性质：若 \(f\) 是一个积性函数，则对于 \(x= \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{c_i},p\in \operatorname{Prime},c_i\in \mathbb{N}\)，都有 \(f(x)= \prod\limits _{i=1}^{k} f(p_i^{c_i})\)，通过积性函数的定义即可证明。

注意，这个性质是 \(f\) 为积性函数的充要条件。

• 常见的积性函数如下（加粗为完全积性函数）

1. \(\epsilon\) 或者 \(e\)，狄利克雷卷积的单位元，\(\epsilon(n)=[n=1]\)，后面的中括号为艾佛森括号，返回一个布尔函数值。
2. \(I\)，常函数，\(I(n)=1\)。
3. \(id_k\)，幂函数，\(id_k(n)=n^k\)。
4. \(d_k\)，除数函数，代表 \(n\) 所有因子的 \(k\) 次方和。特别的，\(d_0(n)\) 代表 \(n\) 的因子个数，\(d_1(n)\) 代表 \(n\) 的因子和。
5. \(\varphi\)，欧拉函数，代表 \([1,n]\) 内与 \(n\) 互质的数的个数。\(\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})\)。特别的，\(\varphi(1)=1\)。

• 欧拉函数性质

1. \(\forall n\in \operatorname{Prime},\varphi(n)=n-1\)。根据质数定义即可证明。
2. \(\forall n\in \{x\mid x=2k+1,k\in \mathbb{Z}\}\)，\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)。通过积性函数定义即可证明。
3. \(\forall n\in \mathbb{N_+}\)，\(n=\sum\limits _{d\mid n} \varphi(d)\)。
4. \(\varphi(n)=\sum\limits _{d\mid n} \frac{\varphi (d)}{d}\)。

• 其他重要的点

积性函数如果能够快速求出 \(\forall p\in\operatorname{Prime},f(p^k)\) 的值，那么可以考虑用线性筛筛出 \(f\)。

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狄利克雷卷积（Dirchlet）

• 狄利克雷卷积定义：

对于两个数论函数 \(f\)，\(g\)，定义其 Dirchlet 卷积为 \(f*g\)，满足以下定义式：

\[(f*g)(n)= \sum\limits_{d\mid n} f(d)g(\frac{n}{d}) \]

还有一个等价的式子，常用于证明某些性质：

\[(f*g)(n)=\sum\limits_{ij=n}f(i)g(j) \]

• 狄利克雷卷积性质：

1. \(f*g=g*f\)，满足交换律。

证明：

\[(f*g)(n)=\sum\limits_{d\mid n} f(d)g(\frac{n}{d}) \]

\[=\sum \limits_{ds= n} f(s)g(d) \]

\[=\sum\limits_{s=\frac{n}{d}}f(s)g(d) \]

\[=\sum\limits_{d\mid n} f(\frac{n}{d})g(d) \]

\[=(g*f)(n) \]

证毕。

2. \(f*g*h=f*(g*h)\)，满足结合律。不证了。
3. \(f*(g+h)=f*g+f*h\)，满足分配律。不证了。
4. \(\epsilon*f=f\)。
5. 对于积性函数 \(f\) 与 \(g\)，\(h=f*g\) 同样是积性函数。

证明：

即证 \(\forall (a,b)=1,h(ab)=h(a)h(b)\)。

设 \((a,b)=1\)，则有：

\[h(a)h(b)=(\sum\limits_{i\mid a} f(i)g(\frac{a}{i}))(\sum\limits_{j\mid b}f(j)g(\frac{b}{j})) \]

\[=\sum\limits_{i\mid a,j\mid b} f(i)f(j)g(\frac{a}{i})g(\frac{b}{j}) \]

\[=\sum\limits_{i\mid a,j\mid b} f(ij)g(\frac{ab}{ij}) \]

\[=\sum\limits_{d\mid ab} f(d)g(\frac{ab}{d}) \]

\[=h(ab) \]

证毕。

• 一些狄利克雷卷积的结论

1. \(\varphi* I=id\)。
2. \(\mu * I =id\)
3. \(id_k*I=d_k\)
4. \(\mu*id=\varphi\)
5. \((\mu ·id_k)*id_k=\varphi\)

• 狄利克雷卷积的逆

给定函数 \(f\)，一定存在唯一的 \(f^{-1}\)，满足 \(f*f^{-1}=\epsilon\)。