扫描线二维数点问题

前置知识

线段树。

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扫描线

简介：能在 \(O(n\log n)\) 的时间内解决矩阵并面积问题和二维数点的算法。

矩阵并

很简单。

二维数点

现在有 \(n\) 个矩阵，左上角 \((a_i,b_i)\)，右上角 \((c_i,d_i)\)，这个矩阵的贡献是 \(k_i\)，然后你要取 \(m\) 个点 \((x_i,y_i)\) 的贡献：

先将 \(a_i,c_i,x_i\) 这些 \(x\) 坐标和 \(y\) 坐标全丢进去离散化。

然后考虑只看每个矩阵的两个竖线：

遍历 \(x\) 坐标：

• 如果遇到一个矩阵的第一个边，将这个矩阵的那一段 \(y\) 坐标 \(+k_i\)。
• 如果遇到一个点，查询它的 \(y\) 坐标。
• 如果遇到一个矩阵的第二个边，将这个矩阵的那一段 \(y\) 坐标 \(-k_i\)。

然后做完了。

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P5677 GZOI2017 配对统计

例题。

分析

先将每个数带着下标排序，设排完之后二元组是 \((a_i,id_i)\)。

对于每一个数，它的“好对”只可能是 \((a_{i-1},id_{i-1})\)，以及 \((a_{i+1},id_{i+1})\)。

如果差距一样则两个都可以，否则取距离较小的一个。注意到一个好对必须满足两个数都在 \([l,r]\) 范围内。

将这些 \((a_i,a_{i+1})\) 和 \((a_{i},a_{i-1})\) 二元组看作一个点，然后题目变为：

有 \(m\) 个矩阵，左上角 \((l_i,l_i)\)，右下角 \((r_i,r_i)\)，矩阵贡献为 \(i\)，求所有点的贡献和。

思路

考虑用二维数点维护一下矩阵和点即可。