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摘要： 原根学习笔记 原根 这是一个又臭又长的内容。 拉格朗日定理：设 \(p\) 为素数，对于模 \(p\) 意义下的整系数多项式 \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0(p\nmid a_n) \]的同余方程 \(f(x)\equiv 0\pmod p\) 在模 阅读全文

摘要： 替罪羊树学习笔记 史！ 思想 众所周知，替罪羊树是一种平衡二叉搜索树，其拥有虽然我不理解为什么，但是很牛的复杂度。其思想在于通过一个系数进行定期重构，使得维护所有信息的树是一棵接近平衡树的伪平衡树，那么他依然拥有 \(O(\log n)\) 级别的层高，因此对于跳转查询依旧具有优异的复杂度。 但是， 阅读全文

摘要： 矩阵树定理学习笔记 真的，我这辈子都没有想过行列式还能用到这种地方。 定义 图的关联矩阵 对于一张有 \(n\) 个点、\(m\) 条边的图（对于无向图，可以随便定义边的方向，因为相反的边只需要将对应列乘以 \(-1\) 即可），我们定义其关联矩阵 \(M\) 满足： \[M_{i,j}=\left 阅读全文

摘要： 高斯消元学习笔记 其实这个主题能够复活主要还是粘了 \(\text{LGV}\) 引理的光，不然我还不知道高斯消元其实不光能求解线性方程组。 求解线性方程组 这个只能说是典中典了，我不相信没有一个人的高斯消元不是从这里开始的。 我们考虑求解线性方程组的本质：将每一个式子所有未知数前都有系数转化成每一 阅读全文

摘要： \(\text{LGV}\) 引理学习笔记 \(\text{LGV}\) 引理一般用于求解有向无环图中多条不相交路径的方案数，引理内容如下。 引理 定义 \(w(P)\) 指的是路径 \(P\) 上所有边权的乘积（在路径计数问题中认为所有边权均为 \(1\) 即可），\(e(A,B)\) 指的是 \ 阅读全文

摘要： \(\text{K-D tree}\) 学习笔记 \(\text{K-D tree}\) 是一种针对 \(k\) 维问题求解的算法，并且拥有出色的时空复杂度。 思想 \(\text{K-D tree}\) 本质上是一棵 \(k\) 维的二叉平衡树，这保证了其树高稳定在 \(\log n\) 附近，为 阅读全文

摘要： 线段树综合 自从模拟赛出现一道勾石线段树题目开始，命运的齿轮就开始转动。 线段树分裂 之前学过线段树合并，现在又要学线段树分裂了 \(\text{qwq}\)。 线段树分裂意在将线段树维护的信息拆成多个区间进行维护。不难发现，如果直接重新建树是 \(O(n\log n)\) 的，而线段树分裂能够做到 阅读全文

摘要： 拉格朗日插值学习笔记 应用 众所周知，在平面直角坐标系中，对于任意的 \(n\) 个点，都一定有一个不超过 \(n-1\) 次的函数与之相对应。拉格朗日插值适用于求解这 \(n\) 个点对应的函数。 思路 考虑给定的 \(n\) 个点的坐标表示为 \((x_i,y_i)\)，不难构造出如下函数： \ 阅读全文

摘要： 杜教筛学习笔记 杜教筛被用于求解某一数论函数 \(f\) 的前缀和，即对于形如 \(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 形式的函数 \(S\)，杜教筛能够在小于线性复杂度的复杂度内求解。 算法思想 尝试构造一个函数 \(S\) 的递推式。选择一个数论函数 \(g\)，那么根据狄利克雷卷积 阅读全文

摘要： 数论分块学习笔记 性质 数论分块用于快速计算含有除法向下取整的和式，即形如 \(\sum_{i=1}^nf(i)g(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\) 的式子。当预处理出 \(f\) 的前缀和时，数论分块可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间复杂度下计算上述和式的值。 阅读全文