唯一分解定理及其证明

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于 \(1\) 的自然数，要么本身就是质数，，要么可以写为 \(2\) 个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

即： \(\forall A \in \mathbb{Z} , A > 1 \quad \exists \prod \limits_{i=1}^n p_i^{a_i} = A\).

其中 \(p_1 < p_2 < p_3 < \cdots < p_n\) 而且 \(p_i\) 是一个质数，\(a_i \in \mathbb{Z} ^+\)。这种表示的方法存在，而且是唯一的。

算术基本定理的内容由两部分构成：

• 分解的存在性；

• 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

证明：

存在性

假设存在大于 \(1\) 的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为 \(n\)。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成 \(3\) 类：质数、合数和 \(1\)。

首先，按照定义，\(n\) 大于 \(1\)。
其次，\(n\) 不是质数，因为质数 \(p\) 可以写成质数乘积：\(p = p\)，这与假设不相符合。因此，\(n\) 只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于 \(1\) 的自然数的积。

设 \(n = a \times b\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 都是介于 \(1\) 和 \(n\) 之间的自然数，因此，按照 \(n\) 的定义，由于 \(n\) 是大于 \(1\) 的自然数而不能写成质数的成绩中最小的数，\(a\) 和 \(b\) 都可以写成质数的乘积。从而 \(n = a \times b\) 也可以写成质数的乘积。

由此产生矛盾。因此大于 \(1\) 的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得引理：若质数 \(p \mid ab\)，则不是 \(p \mid a\)，就是 \(p \mid b\)。

假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设 \(n\) 是其中最小的一个。

首先 \(n\) 不是质数。将 \(n\) 用两种方法写出：\(n = p_1 p_2 p_3 \cdots p_r = q_1 q_2 q_3 \cdots q_s\)。根据引理，质数 \(p_1 \mid q_1 q_2 q_3 \cdots q_s\)，所以 \(q_1 , q_2 , q_3 \cdots q_s\) 中有一个能被 \(p_1\) 整除，不妨设为 \(q_1\)。但 \(q_1\) 也是质数，因此 \(q_1 = p_1\)。所以，比 \(n\) 小的正整数 \(n' = p_2 p_3 \cdots p_r\) 也可以写成 \(q_2 q_3 \cdots q_s\)。

这与 \(n\) 的最小性矛盾，因此唯一性得证。

证毕。