欧几里得引理及其证明

欧几里得引理

如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。

即：如果 \(a \mid bc\)，\(\gcd (a,b) = 1\) 那么 \(a \mid c\)。

命题 \(30\)：如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。

即：

如果 \(p \mid c\) 那么 \(p \mid b\) 或者 \(p \mid c\)。

证明：

设 \(p \mid ab\)，但 \(p\) 不是 \(a\) 的因子。
于是，可设 \(rp=ab\)，其中 \(r \mid ab\)。
由于 \(p\) 是质数，且不是 \(a\) 的因子，\(\gcd (a,p) = 1\)。
这就是说，可以找到两个整数 \(x\) 和 \(y\)，使得 \(1 = px + ay\)（裴蜀定理）。两边乘以 \(b\)，可得：

\(b = b (px + ay)\),

\(b = bpx + bay\).

前面已经说了 \(rp = ab\)，因此：

\(b = bps + rpy\),

\(b = p (bx + ry)\).

所以，\(p \mid b\)。
这就是说，\(p\) 要么整除 \(a\)，要么整除 \(b\)，要么都能整除。

证毕。