容斥

题目引入

空谈容斥原理，容斥公式实际上并没有什么卵用。。。（所以我把以前那篇删掉了，我自己也看不懂我写的啥）

[JSOI2011] 分特产

\(m\) 种物品，每种物品有 \(a_i\) 个，把所有物品分给 \(n\) 个不同的人，且每个人必须至少被分得 \(1\) 个的方案数。

例：\(n=2\) 且 \(m=2\)，\(a=\{2,1\}\)。

方案：

\(\{1,1\}\) 和 \(\{2\}\)

\(\{1\}\) 和 \(\{1,2\}\)

\(\{2\}\) 和 \(\{1,1\}\)

\(\{1,2\}\) 和 \(\{1\}\)

先不考虑每个人必须至少被分得 \(1\) 个的限制。

将每个物品进行分配，依照隔板法，物品 \(i\) 分给 \(n\) 个人的答案为：

\[\binom{a_i+n-1}{n-1} \]

依照乘法原理，总答案为：

\[\prod_{i=1}^m\binom{a_i+n-1}{n-1} \]

考虑去掉有人没有被分配的情况（观察到很难正面计算，所以从反面考虑）。

设 \(f(k)\) 表示强制让 \(k\) 个人为 \(%\)\(0\)，其它选不选任意（即至少选 \(k\) 个为 \(0\)）的方案数，则有：

\[f(k)=\binom{n}{k}\prod_{i=1}^m\binom{a_i+n-k-1}{n-k-1} \]

简单解释：本质上就是将人数减少 \(k\) 个，再乘上从 \(n\) 个人中选择 \(k\) 个的组合系数（注意到每个人不同）。

那不合法答案数就是 \(f(1\cdots k)\) 的并集了。

那这个并集怎么算呢，下面开始先进行感性推导：

先减去 \(f(1)\) ，但发现 \(f(1)\) 包含 \(f(2)\) 的情况，减多了，加上 \(f(2)\)，然后 \(f(2)\) 中又存在 \(f(3)\) 的情况，加多了，再减去 \(f(3)\)，\(\cdots\)。以此类推，\(f(n)\) 当然没有重复情况，结束计算。

得出公式：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^kf(k) \]

这就是容斥的基本公式变形。

容斥时间复杂度

如果我们关心最终选择的具体方案，那容斥的实际时间复杂度一般为 \(O(2^n)\)，也就是子集数量。由于这是一般容斥的时间复杂度，所以我居然产生了容斥就是 \(O(2^n)\) 的刻板印象。

实际上，对于一些题目，容斥状态可以被合并。比如上面的例题，虽然 \(n\) 个人互不相同，但不管选哪 \(k\) 个都不会影响最终答案，所以乘上组合系数即可。

类似的例题

满射

\(m\) 个不同的物品放入 \(n\) 个不同的盒子中，要求每个盒子不为空的方案数。

注意不能用隔板法，因为都是不同的。

还是考虑不合法的答案，设 \(f(k)\) 表示至少有 \(k\) 个为空的答案，则有：

\[f(k)=\binom{n}{k}(n-k)^m \]

同理进行容斥：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^kf(k) \]

错排

\(n\) 个物品放入 \(n\) 个盒子，每个盒子放一个，问第 \(i\) 个物品都不放入第 \(i\) 个盒子的方案数。

还是考虑不合法，设 \(f(k)\) 表示有 \(k\) 个放到自己的盒子中的答案，则有：

\[f(k)=\binom{n}{k}(n-k)! \]

同理进行容斥：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^kf(k) \]

总结

考虑容斥，一般是正面不行，减去反面。而容斥的每一个状态都是好求的（如：至少 \(k\) 个），而容斥后的结果都是难求的（如：恰好 \(k\) 个）。

容斥时间复杂度可合并，只有要考虑每一种容斥的具体方案的才可能是 \(O(2^n)\)。

对于 OI 的基本公式：

\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^kf(k) \]

其中 \(f(k)\) 表示一种好求的简单状态，通常表现为：至少，保证，一定。但不是恰好，刚刚。