【题解】异或树

异或树

题目描述

有一棵 \(n\) 个节点的树，它的每一个节点有一个权值和特殊值。权值已知，特殊值是从该节点到根的异或和。整棵树的权值则为所有节点特殊值之和。求：找一个节点作为根，使得整棵树的权值最大。

思路

先分析任务：找一个节点作为根，使得整棵树的权值最大。因为涉及根，那这显然是一道换根DP。

再分析细节：异或和。这是一道与位运算（异或运算 ^ ）有关的题。

而位运算有一个优点：运算结果的每一位仅与参与位运算的两个数中对应的那一位有关（每一位都是单独运算，不会互相干扰）

由于仅与一位有关系，那么简化问题，假设每一位权值只有 \(0\)，\(1\) 两种情况：

那么，每一个节点的特殊值与从根到该节点路径上 \(1\) 的数量 \(cnt\) 的奇偶性有关：

• 当 \(cnt\) 为奇时，特殊值为 \(1\)
• 当 \(cnt\) 为偶时，特殊值为 \(0\)

最后的答案是树中特殊值为 \(1\) 的节点的数量。

最后是换根方程。

graph TB 1((u)) 2((v)) 3[usons] 4[vsons] 1---2 1---3 2---4

令 \(size_u\) 和 \(num_u\) 为以 \(u\) 为根的子树中节点的数量和特殊值为 \(1\) 的节点数量，\(dp_u\) 为答案（已知 \(dp_1\)），现在考虑转移：

• 当 \(a_v=1\) 时：

\[dp_v=dp_u-(num_u-num_v)+(size_u-size_v-(num_u-num_v))-num_v+(size_v-num_v); \]

• 当 \(a_v\ne 1\) 时：没有变化

对每一个数位跑一遍，答案汇总就能得到最终答案