常微分方程

二阶线性微分方程理论及解法

定义

1.n阶微分方程
\(形如\)

\[y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+p_1(x)y'+p_0(x)y=f(x) \]

\(的微分方程称为n阶线性微分方程，其中p_0(x)，p_1(x)...f(x)都是x的函数，当f(x) \neq 0时，该方程称为n阶非齐次线性微分方程（1）\)
\(当f(x)恒等于0时，该方程称为n阶齐次线性微分方程（2），且称（2）为（1）对应的齐次方程\)
2.线性相关
\(设y_1(x),y_2(x)...y_n(x)为定义在区间I上的n个函数，如果存在不全为0的n个常数\lambda_1，\lambda_2...\lambda_n，使得在该区间I上恒有\)

\[\lambda_1y_1 + \lambda_2y_2 + ... + \lambda_ny_n = 0 \]

\(则称n个函数在区间I上线性相关，否则称为线性相关\)
对于两个函数\(y_1(x),y_2(x)\)，当\(\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\)为常数时二者线性相关，否则线性无关
PS：通俗一点讲，一个函数能被另外的几个函数表示出来，它们就线性相关

二阶齐次线性微分方程解的性质与结构

\(设有y''+P(x)y'+Q(x)y=0\).
1.
\(如果函数y_1(x)与y_2(x)是该方程的解，那么y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)，C_1，C_2为任意常数，也是该方程的解\)
\(但此时的y不一定是通解，因为y_1(x)可能与y_2(x)线性相关\)
2.二阶齐次线性的通解结构定理
\(如果函数y_1(x)与y_2(x)是该方程的线性无关的特解，那么y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)，C_1，C_2为任意常数，是该方程的通解\)