高等数学-一元函数微分学的应用
一元函数微分学的应用
微分中值定理
费马引理
\(f(x)在x_0的某邻域内有定义，且f(x) \geq ( \leq )f(x_0)，f(x)在x_0可导，则f'(x_0)=0\)
proof:利用极限的保号性可证
罗尔中值定理
定理及证明
\(若f(x)满足三个条件\)
\(（1）[a,b]上连续\)
\(（2）(a,b)上可导\)
\(（3）f(a)=f(b)\)
\(则至少存在一点 \xi \in (a,b)，使得f'(\xi)=0\)
proof:最值定理+M,m分类讨论+费马引理
拉格朗日中值定理
定理及证明
1.拉格朗日中值定理
\(若f(x)满足两个条件\)
\(（1）[a,b]上连续\)
\(（2）(a,b)上可导\)
\(则至少存在一点 \xi \in (a,b)，使得f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)\)
proof:构造\(g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)+罗尔中值定理
2.推论1
\(如果f(x)在(a,b)可导，且f'(x) \equiv 0，则函数f(x)在(a,b)内为常数\)
proof:\(f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\)
3.推论2
\(F(x)和G(x)在(a,b)内可导，且F'(x)=G'(x)，则在(a,b)内恒有F(x)=G(x)+C\)
proof:\(f(x)=F(x)-G(x)\)
题目
1.教科书P118：例4.1.5
构造函数将含\(\xi\)的项移到一边
2.教科书P118：例4.1.6
同时出现\(f'(\xi),f'(\eta)\)说明要用两次中值定理
3.教科书P119：例4.1.7
柯西中值定理
定理及证明
\(若f(x)，g(x)满足两个条件\)
\(（1）[a,b]上连续\)
\(（2）(a,b)上可导，且g'(x) \neq 0\)
\(则至少存在一点 \xi \in (a,b)，使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)
proof:构造\(h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}g(x)\)+罗尔中值定理
题目
洛必达法则
定义
洛必达法则
\(若f(x)和g(x)满足以下三个条件：\)
\(（1）在x_0的某去心邻域内可导，且g'(x) \neq 0\)
\(（2）\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=\underset{x \to x_0}{lim}g(x)=0（或\infty）\)
\(（3）\underset{x \to x_0}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}存在（或无穷大）\)
\(则有\underset{x \to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x \to x_0}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
题目
1.教科书P125 例4.2.4
2.教科书P126 例4.2.7
3.教科书P126 注意点（2）
泰勒中值定理
题目
其它题目
1.教科书P151 T6
利用泰勒中值定理构建f(x)与f''(x)的关系
2.教科书P189 例5.2.4
（1）左式也可以通过泰勒展开求得
（2）右式泰勒展开后由于f'(x)性质未知无法出解，用求导的方式则正好消去了f'(x)
3.教科书P140 T1（2）（3）
（2）某些函数的泰勒公式中提高n的次数也无法提高精度
（3）奇（偶）函数的麦克劳林多项式中只含有x的奇数（偶数）次项
4.教科书P141 T8
这题不是很友善啊...必须把\(f(\frac{a+b}{2})\)在a和b处展开，不能展开f(a)和f(b)
求极限题目
1.\(\underset{x \to 0}{lim}(\frac{ 2+e^{ \frac{1}{x} } } { 1+e^{ \frac{4}{x} } } + \frac{sin x}{|x|})=1\)
遇到绝对值必去绝对值，一般分类讨论
2.\(tan x - sin x\)~\(\frac{1}{2}x^3\)
3.\(\underset{x \to 0}{lim}\frac{sin x+x^2sin\frac{1}{x}}{(1+cos x)ln(1+x)}=\frac{1}{2}\)
tip1：\(sin \frac{1}{x}\)不能展开，通常也不能洛，一般与无穷小相乘消去
tip2：极限存在的部分可以直接提出来简化运算。
4.教科书P138 例4.3.6
求极限的方法
1.能直接代入直接代入
2.再看能否用等价无穷小化简（或化为第二个重要极限）
3.利用导数或积分的定义求极限 或 极限的存在准则（夹逼定理或单调收敛准则）
4.还未出解可使用洛必达或泰勒展开
函数单调性与极值
函数的单调性
定理及推论
\(设函数f(x)在[a,b]上连续（开区间和无穷区间上也成立），在(a,b)上可导\)
\(（1）如果(a,b)内f'(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上单调递增\)
\(（1）如果(a,b)内f'(x)<0，则函数f(x)在[a,b]上单调递减\)
2.
\(函数f(x)在区间I可导，则f(x)在区间I单调递减（或单调递增）的充分必要条件为\)
\(（1）\forall x \in I，有f'(x) \geq 0（f'(x) \leq 0）\)
\(（2）在区间I的任何子区间，f'(x)不恒为0\)
PS：求单调性先观察是否有断点
题目
1.教科书P143 例4.4.4
函数的极值
定义
\(设函数y=f(x)在x_0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于x_0的任意一点x，恒有f(x)<f(x_0)（或f(x)>f(x_0)），称f(x_0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值），x_0为函数的一个极值点\)
PS：注意极值是函数值，极值点是x的取值
2.
\(导数等于0的点为f(x)的驻点或稳定点\)
定理
1.极值的必要条件
\(如果f(x)在点x_0处可导，且取得极值，则f'(x_0)=0\)
2.极值的第一充分条件
\(设函数f(x)在点x_0的某一邻域中连续，在去心邻域内可导\)
\(（1）如果在x_0的左右两侧附近f'(x)的符号相反，则f(x)在x_0处必取极值\)
\(（2）如果在x_0的左右两侧附近f'(x)的符号相同，则f(x)在x_0处不取极值\)
2.极值的第二充分条件
\(设函数f(x)在x_0处存在二阶导数，f'(x_0)=0\)
\(（1）如果f''(x_0) \neq 0，则f(x)在x_0处必取极值。且f''(x_0)>0，f(x)在x_0处去极小值，f''(x_0)<0，f(x)在x_0处去极大值\)
\(如果f''(x_0)=0，则无法确定f(x_0)是否取极值\)
3.极值的第三充分条件
\(f(x)在x_0处n阶可导，且1~(n-1)阶导数均为0，n阶导数不为0，则当n为偶数时x_0为极值点，n为奇数时x_0不为极值点\)
求极值和最值的方法
！！首先找出断点，断点不成为极值点
1.求极值的方法
（1）找出所有驻点和不可导点
（2）根据极值第一/第二充分条件判断是否为极值点
或利用极值的定义和泰勒展开求得极值
2.求最值的方法
求出所有极值和边界值，取其中最值
题目
1.教科书P146 例4.4.6
2.教科书P147 例4.4.10
3.教科书P150 T3（2）
利用极值定义+极限的保号性得解
利用泰勒展开求极值
曲线凹凸性与拐点
定义及定理
1.凹凸性的定义
\(设函数f(x)在区间I上（内）连续，如果对于区间I上（内）任意两个不同的点x_1，x_2，恒有f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，就称y=f(x)在区间I上（内）的图形是向上凹的，并相应地称区间I为函数f(x)的凹区间\)
2.
\(设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导\)
\(（1）如果在(a,b)内f'(x)单调增加，则曲线y=f(x)在[a,b]上为凹的\)
\(（2）如果在(a,b)内f'(x)单调减少，则曲线y=f(x)在[a,b]上为凸的\)
3.
\(设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导\)
\(（1）如果f''(x)>0，x \in (a,b)，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的\)
\(（2）如果f''(x)<0，x \in (a,b)，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凸的\)
PS：记得要判断函数是否有断点，分段说明凹凸性
4.拐点的定义
\(设函数y=f(x)在[a,b]上连续，如果在(a,b)内存在一点x_0,\delta为充分小的正数，在点x=x_0的两侧邻域(x_0-\delta,x_0)，(x_0,x_0+\delta)内曲线的凹凸性相反，就称点(x_0,f(x_0))为曲线的一个拐点\)
PS：拐点是一个二维的点
5.拐点的必要条件
\(设函数f(x)二阶可导，且点(x_0,f(x_0))为曲线y=f(x)的拐点，则f''(x)=0\)
6.拐点的充分条件
\(设函数f(x)在点x_0的某一邻域内连续，在去心邻域内二阶导数存在\)
\(（1）如果在点x_0的左右两侧邻域f''(x)的符号相反，则(x_0,f(x_0))为曲线f(x)的拐点\)
\(（1）如果在点x_0的左右两侧邻域f''(x)的符号相同，则(x_0,f(x_0))不为曲线f(x)的拐点\)
求拐点的方法
！！先找出函数的断点，断点不成为拐点（不用管一阶导数）
（1）找出f''(x)=0和二阶导数不存在的点
（2）运用拐点的充分条件判断是否为拐点
题目
1.教科书P155 例4.5.3
拐点其实可以通过考察f(x)，f'(x)，f''(x)，f'''(x)获得，特殊条件下需要考察更高阶导数（前面的导数全为0），极值点的考察是类似的
函数图形的描绘
渐近线
定义
如果曲线上的动点焰曲线无限远离原点时，动点到某定直线的距离无限趋于0，称此直线为曲线的渐近线。
渐近线有三种形式：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线。
\(水平渐近线：如果\underset{x \to \infty}{lim}f(x)=A，就称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线\)
\(垂直渐近线：如果\underset{x \to x_0}{lim}f(x)=\infty，就称直线x=x_0为曲线y=f(x)的垂直渐近线\)
\(斜渐近线：如果曲线存在的渐近线既不是水平渐近线，又不是垂直渐近线，就称之为曲线y=f(x)的斜渐近线\)
求渐近线的方法
1.先求斜渐近线和水平渐近线
\(设渐进线为y=ax+b\)
\(\underset{x \to \infty}{lim}\frac{f(x)}{x}=a\)
\(\underset{x \to \infty}{lim}[f(x)-ax]=b\)
*若a=0，说明无斜渐进线，求水平渐进线
2.求垂直渐近线
题目
1.教科书P158 例4.6.2
多项式函数的极限记得先化简
导数在不等式证明中的应用
不等式的证明方法
1.均值不等式和三角不等式和绝对值不等式
2.函数单调性与极值
3.拉格朗日，柯西中值定理，凹凸性
4.泰勒中值定理
利用单调性或最值证明不等式
结论：
通过构造函数证不等式可以先将端点值代入，若端点值恰好符合不等式则有很大几率可以直接通过单调性证得
题目：
1.教科书P161 例4.7.2
\(sinx-xcosx=cosx(tanx-x)\)
2.教科书P165 例4.7.9
\(\frac{1}{2^{p-1}} \leq x^p + (1-x)^p\)
利用中值定理定理证明不等式
基础原理
1.利用拉格朗日中值定理证明不等式
\(设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则有\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)，\xi \in (a,b)。于是，我们依据以下两种情况，得到不等式\)
\(（1）如果A \leq f'(x) \leq B(a<b)，则A \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq B\)
\(（2）如果f'(x)单调，且f(x)在[a,b]上可导，则f'(a) \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f'(b)（f'(x)单调增加）\)
2.利用柯西中值定理证明不等式
\(设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g'(x) \neq 0(a<x<b)，则有\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}，\xi \in (a,b)。于是，我们类似可得\)
\(若N \leq \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \leq M，则有 N \leq \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \leq M\)
3.利用泰勒中值定理证明不等式
题目
1.教科书P162 例4.7.4
此题的难点在于绝对值符号的处理，可以通过分类讨论去绝对值解决（构造\(h_1(x)=\phi(x) + f(x)，h_2(x)=\phi(x) - f(x)\)，会发现它们都是单调递增的），也可以通过把\(\phi(x)\)融入绝对值解决（即书上的解法）
2.教科书P163 例4.7.5
最简单粗暴的利用泰勒公式展开，然后平方项放缩
3.教科书P163 例4.7.6
在需要的时候，将泰勒展开中的\(x_0\)视作变量也是可行的
4.教科书P166 T3
利用凹凸性证明不等式
原理
曲线的凹凸性反映的也是不等关系
\(f(\frac{x_1+x_2}{2})>（或<）\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)
可以扩展：\(f(t x_1+(1-t)x_2)>（或<）tf(x_1)+(1-t)f(x_2)，t \in (0,1)\)
进一步扩展可以得到Jensen不等式
题目
1.教科书P164 例4.7.7
组合恒等式和相关变化率
组合恒等式
\(\sum_{k=1}^n kC_n^k = n2^{n-1}，n \in N\)
\(\sum_{k=1}^n k^2C_n^k = n(n+1)2^{n-2}，n \in N\)
构造\(f(x)=(1+x)^n，二项式展开+求导可证\)
相关变化率解题步骤
1.列出y与x的关系式
2.等式左右两边同时对t求导
3.代入数据求解
浙公网安备 33010602011771号