高等数学-一元函数微分学

一元函数微分学

导数

导数定义

题目
1.教科书P110 T2 教科书P111 T7
利用导数定义求极限
2.教科书P110 T3
导数值和函数值无直接关系
3.教科书P111 T6
分段函数的导数，另外提醒一点，在某点处有二阶导数则必有一阶导数且一阶导数连续，但说在x<0和x>0时有二阶导数，则x=0处不一定有一阶导数。

函数的可导性与连续性的关系

求导运算法则

导数的四则运算法则

反函数的求导法则

复合函数的求导法则

PS：\(F'(g(x)) \neq (F(g(x)))' = F'(u),u=g(x)\)

导数相关基础知识的题目

1.教科书P156 T6
此处y'和f'(x)不同，且无需关注它们之间的关系，想办法消去y相关的变量即可

高阶导数

定义

\(如果函数y=f(x)的导函数f'(x)在点x处可导，就称y=f(x)在点x处二阶可导，f'(x)在点x处的导数称为函数的二阶导数\)
\(记作f''(x)，y''，\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}，\frac{{\rm d}^2 f(x)}{{\rm d}x^2}\)
\(用极限表示即为\underset{\Delta x \to 0}{lim} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{\Delta x}\)
2.
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，有时为了方便也将f(x)称为零阶导数
3.常见高阶导数
（1）\(P_n=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\)
\(P_n^{(k)}=\begin{cases} a_n n (n-1)...(n-k+1)x^{n-k} + ... +a_k k! & k<n \\ a_n k! & k=n \\ 0 & k>n \end{cases}\)
（2）\(y=e^{ax}，y^{(n)}=a^ne^x\)
（3）\(y^{(n)}=(sin wx)^{(n)}=w^n sin(wx+n\frac{\pi}{2})，n \in N\)
（4）\(y^{(n)}=(\frac{1}{ax+C})^{(n)}=(-1)^n a^n \frac{n!}{(x+C)^{n+1}}，n \in N\)
（5）\(y^{(n)}=ln(ax+C)^{(n)}=(-1)^{n-1} a^n \frac{(n-1)!}{(x+C)^n}，n \in N^*\)
（6）\(y^{(n)}=[(x+C)^a]^{(n)}=a (a-1) ... (a-n+1)(x+C)^{a-n}，n \in N^*\)
4.高阶导数求导公式
（1）\((u+v)^{(n)} = u^{(n)}+ v^{(n)}\)
（2）\((Cu)^{(n)}=Cu^{(n)}\)
（3）\((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}\)

题目

1.教科书P92 例3.3.7 教科书P92 例3.3.8
简而言之，转化为基本高阶导数类型
2.教科书P92 例3.3.9
多项式*其它函数，求高阶导数时用莱布尼茨公式
3.\(y=arcsin x,求y^{(n)}(0)\)
化为\(y'^2(1-x^2)=1\)后求导恰好约去一个\(y'\)，再用莱布尼茨公式求n阶导数。

隐函数与参数方程确定的函数的求导方法

题目

1.教科书P96 例3.4.6 例3.4.7
教科书P111 T13
取对数，运用隐函数求导简化某些显函数的求导，变形手段主要是取对数或去分母
2.教科书P99 例3.4.10
求极坐标方程形式曲线的切线要转化为直角坐标求解

微分

微分的概念

\(设函数y=f(x)在x_0的某邻域内有定义，当x_0+\Delta x仍在该邻域内时，如果存在一个与\Delta x无关而与x_0有关的常数A，使得\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)表示成\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)，就称函数在点x_0处可微，并称A\Delta x为函数在点x_0处的微分，即{\rm d}y|x=x_0 = A\Delta x\)
PS：
（1）注意微分中的\(\Delta x\)没有要求是无穷小
（2）\(\Delta x \to 0\)时，\(\Delta x\)=\({\rm d}x\)

函数可导与可微的关系

\(函数y=f(x)在点x_0处可微的充分必要条件是函数y=f(x)在点x_0处可导，且此时A=f'(x_0)\)

微分的运算法则

1.计算函数的微分，只需要求出函数的导数，再乘以自变量的微分即可。
（1）\({\rm d}(u+v) = {\rm d}u + {\rm d}v\)
（2）\({\rm d}(uv) = v{\rm d}u + u{\rm d}v\)
（3）\({\rm d}(\frac{u}{v}) = \frac{v{\rm d}u - u{\rm d}v}{v^2}\)
2.一阶微分形式不变性
\(不论u是自变量还是中间变量，总有{\rm d}y = f'(u){\rm d}u\)

微分的应用

\(设函数f(x)在x_0处可微，f(x)约等于f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)
要点：确定\(f(x)\)，找到合适的（好计算的）\(f(x_0)\)，取一个较小的\(\Delta x\)。另一方面直接化为等价无穷小形式直接代入也可。
题目：
教科书P105 例3.5.5 例3.5.6