高等数学-函数

函数

函数的定义

单值函数：D为一非空数集，$\forall x \in D$,按照对应法则f，y总有唯一对应的数值与之对应，就称y是x的函数

多值函数:一个x对应多个y

易错：不要忘记定义域
eg：$f(x)=\frac{1}{x+1},求f(f(x))$
sol:$f(f(x))=\frac{x+1}{x+2},x \in R且x \neq -1和-2$

函数相同的判定

定义域相同且对应法则相同

几种常用的函数表示

1.分段函数
2.隐函数：通过F(x,y)=0的表达式确定函数关系。
eg：$x^2+y^2=1$
3.参变量函数

特殊的函数

复合函数

构成条件

里层函数的值域为外层函数的定义域的子集

反函数

易错

1.反三角函数不是三角函数的反函数
2.$f(f^{-1}(y))=y$
3.不连续的非单调函数也可能有反函数
eg:$x \in ${1,2,3},$f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2$
conc:看是否存在y对应多个x

证明：严格单调函数必有反函数且单调性相同（以单调递增函数为例）

$首先证明对于一个单调递增函数，\forall x_1,x_2,若f(x_1)<f(x_2),则x_1<x_2,采取反证法$

$假设 \exists x_1,x_2,当f(x_1)<f(x_2),x_1 \geq x_2.$
$由单调函数的定义可知\forall x_1,x_2,若x_1 \geq x_2,则f(x_1)\geq f(x_2),与假设矛盾，故得证$

$由上述结论可以看出，对\forall f(x),存在唯一确定x与之对应，故必有反函数$
$且反函数同样单调递增，故单调性相同$

函数的几种特性

有界函数

在定义域的一个子集上，$\exists M使|f(x)| \leq M$

注意：M不是唯一的

单调函数（以单调递增函数为例）

$\forall x_1,x_2 \in D,若x_1<x_2,则f(x_1)<f(x_2)$

周期函数

$\exists T>0,f(x+T)=f(x)$

无最小周期的周期函数

1.f(x)=C,C为常数
2.狄利克雷函数（T为任意有理数）
有理数+有理数=有理数
无理数+有理数=无理数
证明：令p为有理数，q为无理数，r=p+q,假设r为有理数，
q=r-p，q应为有理数，与题设矛盾，故得证。

奇函数和偶函数

定义域关于原点对称，且总有f(x)=-f(-x),则f(x)为奇函数，偶函数类似。

**注意：f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件
pro：将任意的f(x)表示为奇函数和偶函数相加的形式
sol：$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]$

基本初等函数（6类）

1.常数函数
2.指数函数
3.对数函数
4.幂函数

幂函数的定义域

（1）对于$x^a$,a为有理数$\frac{p}{q}$，
\begin{array}{c|c|c}
a=\frac{p}{q} & \text{} & \text{定义域} \
\hline
a>0 & \text{q为奇数 } & (-\infty,+\infty) \
& \text{q为偶数 } & [0,+\infty) \
\hline
a<0 & \text{q为奇数 } & (-\infty,0) \cup (0,+\infty) \
& \text{q为偶数 } & (0,+\infty) \
\end{array}
理解：
<1>将p/q看做先p次乘方再q次开方
<2>定义域和值域相同
<3>大致形状根据p/q与1的关系，q参考$x^2和\sqrt x，x^3和\sqrt[3]{x}$
（2）对于a为无理数
$y=x^a定义为y=10^{algx},故定义域为（0，+\infty）$
5.三角函数
正割函数$\sec x=\frac{1}{cos x}$
余割函数$\csc x=\frac{1}{sin x}$
6.反三角函数
反三角函数的y所在的区间为主值区间，即$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

查找三角函数和反三角函数的图像

http://math001.com/inverse_trigonometric_functions/

初等函数

定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到，并可以用一个表达式表示的函数称为初等函数

Add:分段函数一般不是初等函数。

双曲函数和反双曲函数

1.双曲正弦函数 $y=sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
2.双曲余弦函数 $y=ch x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
3.双曲正切函数 $y=th x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
4.反双曲正弦函数 $y=arsh x=ln(x+\sqrt {x^2+1})$
5.反双曲余弦函数 $y=arch x=ln(x+\sqrt {x^2-1})$
6.反双曲正切函数 $y=arth x=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$

反双曲正弦的推导

$y=sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}，令u=e^x>0,则有u^2-2uy-1=0，u=y$ ± $\sqrt{y^2+1}$
$由u>0,得u=y+\sqrt{y^2+1}=e^x,得arsh x=ln(x+\sqrt {x^2+1})$

一些常用不等式和等式

三角函数基本不等式

$x \in (0,\frac{\pi}{2}),sin x< x<tan x$
PS:(1)利用面积法证明最简单（2）注意x的范围

均值不等式

对于任意n个正数$a_1,a_2,...,a_n$,有

\[\sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \]

数学归纳法证明

n=1,$a_1 \leq a_1$,显然成立
假设n=k时等式成立，记$$A_k=\sqrt[k]{a_1a_2...a_k} \leq B_k=\frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}$$

\[B_{k+1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{k+1}}{k+1} \geq \frac{kA_k+a_{k+1}}{k+1} \]

\[=\frac{kA_k+(a_{k+1}+(k-1)A_{k+1})-(k-1)A_{k+1}}{k+1} \]

\[\geq \frac{kA_k+k\sqrt[k]{a_{k+1}A^{k-1}_{k+1}}-(k-1)A_{k+1}}{k+1} \]

\[\geq \frac{2k\sqrt[2k]{A^{k-1}_{k+1} a_{k+1} A_k^k} -(k-1)A_{k+1}}{k+1} \]

\[=\frac{2k\sqrt[2k]{A^{k-1}_{k+1} A_{k+1}^{k+1}} -(k-1)A_{k+1}}{k+1} \]

\[=A_{k+1} \]

经检验所有等号成立的条件均为$a_n$的值全部相等，即可以同时取得，等号成立

一些均值不等式的应用

1.$$\sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} +...+ \frac{1}{a_n}}$$
2.$$(1+\frac{1}{n})^n =(1+\frac{1}{n})^n*1 <(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}$$
注意等号无法取得。
3.$$(1+\frac{1}{n})^n = (1+\frac{1}{n})^n * \frac{1}{2} * \frac{1}{2} < 1$$
即$$(1+\frac{1}{n})^n < 4$$

三角函数和反三角函数的有关等式

Add：记公式时最好用语言描述一下公式，方便抽象代入使用

和差化积公式

\[sin x + sin y = 2sin \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2} \]

\[sin x - sin y = 2cos \frac{x+y}{2} sin \frac{x-y}{2} \]

\[cos x + cos y = 2cos \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2} \]

\[cos x - cos y = -2sin \frac{x+y}{2} sin \frac{x-y}{2} \]

积化和差公式

\[sin x sin y=-\frac{cos(x+y)-cos(x-y)}{2} \]

\[sin x cos y=\frac{sin(x+y)+sin(x-y)}{2} \]

\[cos x cos y=\frac{cos(x+y)+cos(x-y)}{2} \]

反三角函数

\[arcsin x + arccos x = \frac{\pi}{2} \]

\[arctan x + arccot x = \frac{\pi}{2} \]

极坐标简介

注意极坐标和直角坐标相互转化的条件
1.原点和极点重合
2.x轴的非负半轴与极轴重合
3.长度单位一致

posted @ 2020-10-07 16:13 Deliberator 阅读(1268) 评论(0) 收藏举报

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