思路分析
首先明确一点，反异或操作并不能使字符串变长，所以你本来要加多少数字，现在还是要加那么多。但是观察样例我们可以发现，反异或操作可以使要加的 \(1\) 的数量变少。
比如样例：
我先手动添加 \(\texttt{11000}\)，然后对字符串进行反异或操作。
然后我再手动添加 \(\texttt{001}\) 就行了，总共只添加了 \(3\) 个 \(1\)。
由于我只能从两边添加数字，所以我在反异或之后添加的数字一定不会加到我的中间，换言之，进行反异或的序列一定是原字符串的一个子串。
但是怎么知道我们枚举到的某个子串是不是一个串反异或来的呢？如果是，那么那个串 \(1\) 的数量又是多少呢？
首先，是不是所有的字符串都可以成为反异或的产物呢？
比如这个字符串：
根据反异或不改变字符串长度的的性质，我们知道原串的长度为 \(5\)，现称原串为 \(s\)，其元素为 \([s_1,s_2,s_3,s_4,s_5]\)。
根据异或相同为 \(0\)，不同为 \(1\)，的性质，我们可以得出以下等式：
显然，这是矛盾的。矛盾的原因是异或串的第一位和第五位不相同。由第一位为 \(0\) 得出 \(s_1 = s_5\)，但是由第五位为 \(1\) 得出 \(s_5 \neq s_1\)，矛盾。
同理，异或串的第二位和第四位不同导致了 \(s_2\) 和 \(s_4\) 的矛盾。
这说明，异或串必定是一个回文串。
但是来看看这个字符串：
第三位是 \(1\)，说明 \(s_3 \neq s_3\)，这显然是不对的！
因此还有一项规定：当回文串长度为奇数时，中间那一位不能是 \(1\)。
- 当回文串的某一位是 \(1\) 时，说明一定有两位不同，这两位一定有一个 \(1\)；
- 当回文串的某一位时 \(0\) 时，说明有两位是相同的，那么这两位都是 \(0\) 多好啊。
但是如果枚举一遍所有的子串肯定超时，怎么办呢？
注意到对于固定中心的最长回文，向左右同时扩展时，如果两侧新增的字符是 \(0\)，则左半边不增加 \(1\)，节省量不变；如果是 \(1\)，则左半边增加 \(1\)，节省量增大。因此最长回文对应的方案一定不劣于任何较短回文。
还是看样例 \(\texttt{00111011}\)，明明 \(\texttt{101}\) 已经是回文串，可以省一个 \(1\) 了，但是更长的 \(\texttt{11011}\) 可以省两个 \(1\)。就算是两边加上了 \(0\)，省下的 \(1\) 的数量依然不变。
问题最终转化为：找到字符串中的最长回文串中含 \(1\) 数量最多的子串。
于是可以枚举中心点，然后二分找到最长的以当前点为中心的回文子串，用字符串 hash 快速判断回文串，然后用该回文方案计算最少需手动添加的 \(1\) 的个数，最后取最小值即可。
由于对固定中心来说，向两侧扩展不会减少左半边的 \(1\) 的个数，因此最长回文一定不劣。最后在所有中心的最长回文中取最小值，就等价于在所有合法回文子串中挑选左半边 \(1\) 最多的子串。
复杂度分析
\(O(n)\) 枚举中心点，\(O(\log n)\) 二分找最长回文子串，总时间复杂度 \(O(n \log n)\)。
空间复杂度 \(O(n)\)。
实现细节
- 你的哈希很有可能会被卡，这里提供一组能过的底数和模数：\(（31，1610612741）\)。
- 二分需要分回文串长度为奇数和回文串长度为偶数两种情况讨论，回文串长度为奇数的情况不能允许中心点为 \(1\)。
- 假设当前中心点为 \(c\)。二分的左边界是 \(0\)（可能没有），偶数情况 \(\min(c, n-c)\)；奇数情况 \(\min(c-1, n-c)\)，因为奇数中心本身不参与扩展。
- 注意回文串的左右端点在奇数偶数情况下不同的计算方式。
至此思路完结，上代码。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
#define div() cout << "-----------------------\n";
#define debug(n) cout << #n << " = " << n << "\n";
#define deb(n) cout << #n << " = " << n << " ";
int n;string s;int a[1000005];int ans = 1e18;
int h[1000005];int fh[1000005];int base[1000005];
int sum[1000005];
const int p = 31,mod = 1610612741;
inline void work(int center){
// even
int lb = 0,rb = min(center,n-center),mid;int len = 0;
while(lb <= rb){
mid = (lb+rb) >> 1;
int l = center-mid+1;
int r = center+mid;
int h1 = (h[r]-h[l-1]*base[r-l+1]%mod+mod)%mod;
int h2 = (fh[l]-fh[r+1]*base[r-l+1]%mod+mod)%mod;
if(h1 == h2){
len = mid;
lb = mid+1;
}
else{rb = mid-1;}
}
/*
手动添加 1 = 左外部 1 + 右外部 1 + 左半边 1
左外部 + 左半边恰好是 sum[center]，右外部是 sum[n] - sum[center+len]。
*/
ans = min(ans,sum[center]+sum[n]-sum[center+len]);
// odd
if(a[center] == 1){return;}
lb = 0;rb = min(center-1,n-center);len = 0;
while(lb <= rb){
mid = (lb+rb) >> 1;
int l = center-mid;
int r = center+mid;
int h1 = (h[r]-h[l-1]*base[r-l+1]%mod+mod)%mod;
int h2 = (fh[l]-fh[r+1]*base[r-l+1]%mod+mod)%mod;
if(h1 == h2){
len = mid;
lb = mid+1;
}
else{rb = mid-1;}
}
ans = min(ans,sum[center]+sum[n]-sum[center+len]);
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
cin >> s;n = s.size();
for(int i = 1;i <= n;i++){a[i] = s[i-1]-'0';sum[i] = sum[i-1]+a[i];}
base[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n;i++){base[i] = base[i-1]*p%mod;}
for(int i = 1;i <= n;i++){h[i] = (h[i-1]*p+a[i])%mod;}
for(int i = n;i >= 1;i--){fh[i] = (fh[i+1]*p+a[i])%mod;}
for(int i = 1;i <= n;i++){work(i);}
// 有一种情况是不操作
cout << min(ans,sum[n]);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号